Wij hebben al eerder de vraag gesteld, hoe je achter het aantal stapels bij een groot getal kan komen. Wij hebben toen geprobeerd de vergelijking 2004 = 1/2 n(n + 2a -1) op te lossen, dit deden wij door elke keer voor a een ander getal in te vullen. Wij hebben nu voor a t/m 45 ingevuld en nog steeds komt er geen heel getal voor n uit de formule. Wij weten niet hoe we dit nu moeten aanpakken. Tevens moeten wij er ook achter komen welke getallen allemaal 1 stapel hebben. Wij hebben hiervoor gekeken voor de getallen t/m 50 welke getallen dit zijn, we kunnen hier op geen enkele manier een verband tussen vinden. Ons laatste probleem is hoe je een getal kunnen vinden met precies 500 stapels. Ook hierbij weten wij niet hoe we dit moeten aanpakken. De rest van de opdrachten zijn we goed uitgekomen, maar bij bovenstaande opdrachten lopen wij echt vast. Alvast bedankt voor de hulp.
Laura
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 2 juli 2007
Antwoord
Laat ik maar eens een wat kleiner getal dan 2004 nemen, bijvoorbeeld 18. Je wilt de combinaties van gehele getallen a en n weten waarvoor 1/2n(n+2a-1)=18. Om te beginnen: dan moet n(n+2a-1) gelijk zijn aan 36. Maar nu komt het: n en n+2a-1 zijn geheel! Je zoekt dus combinaties van twee gehele getallen p en q zo, dat pq=36. Die combinaties zijn: 1 en 36 2 en 18 3 en 12 4 en 9 6 en 6 (en dat was het dan) Dus n en n+2a-1 kunnen alleen één van deze 5 combinaties zijn. Omdat a tenminste 1 is geldt: n+2a-1n. Dus n is het kleinste getal van de combinatie. Omdat stapels een lengte van minstens 2 hebben is n groter dan 1. Blijven over de combinaties: n=2 n+2a-1=18 waaruit volgt: 2+2a-1=18, dus 2a=17, voldoet niet. n=3 n+2a-1=12 waaruit volgt 3+2a-1=12, dus 2a=10, dus a=5. Controle: 5+6+7=18, hoi. n=4 n+2a-1=9 waaruit volgt 4+2a-1=9, dus 2a=6, dus a=3. Controle: 3+4+5+6=18, hoi. n=6 n+2a-1=6, maar n+2a-1n, dus deze kan niet.
Als je dit hebt begrepen, zou je zelf die 2004 moeten kunnen oplossen. Ook zou je dan moeten kunnen oplossen wanneer een getal precies één stapel heeft. De laatste vraag lijkt me een mooie uitsmijter. Misschien kun je je daar nu eens opnieuw over buigen. Je moet dan in ieder geval een getal hebben met een heleboel factoren, zodat er erg veel paren delers te vinden zijn.
n.