Toestandsruimte M = { x element uit R4, x1, x2, x3, x4 >= 0) De eigenwaarde lambda = 3, komt 1 keer voor, met eigenvector (1,3,2,1), de eigenwaarde lambda = 2, komt 2 keer voor met eigenvectoren (3,1,-6,5) en (0,1,2,5), en de eigenwaarde lambda = 0,4 komt 1 keer voor met eigenvector (1,0,-7,4). Ik weet al dat eigenvectoren met een term < 0 niet van toepassing zijn, dus alleen (1,3,2,1) en (0,1,2,5).
Nu de vraag: Gevraagd: de toestanden uit M die asymptotisch naar een toestand met constante procentuele verdeling gaan.
Hoe pak ik dit aan?
Sander
Student hbo - vrijdag 1 november 2002
Antwoord
Hoi,
Je hebt het over een lineaire transformatie met matrix A die een vector X afbeeldt op A.X. We noteren de eigenwaarden li en de bijhorende eigenvectoren vi. We hebben dus: A.vi = li.vi.
We construeren matrix V zodat de i-de kolom vi is. We hebben dan dat: A.V= V.L, waarbij L=diag(li), de diagonaalmatrix met op de i-de kolom (en rij) de waarde li. Bemerk dat Lk=diag(lik)
Je gaat na dat de eigenvectoren onafhankelijk zijn. Dit betekent dat det(V)<>0 en dat V-1 bestaat. Dit betekent ook dat we elke vector X kunnen schrijven als een lineaire combinatie van de eigenvectoren, namelijk: V.X’=X met X’=V-1.X
We bekijken nu wat er gebeurt als we de transformatie herhaaldelijk toepassen. Een vector X wordt na k transformaties afgebeeld op Ak.X.
We proberen nu die macht van A eenvoudiger voor te stellen: Ak.X= Ak.V.X’= Ak-1.(A.V).X’= Ak-1.(V. L).X’= Ak-2.(A.V). L.X’= Ak-2.( V. L). L.X’= Ak-2.V. L2.X’= .. V. Lk.X’= V. Lk. V-1.X (Hier herken je wellicht de eigenwaardenvorm van A in, mocht je dit concept kennen)
Voor k®¥ wil je een ‘constante procentuele verdeling’. Dit betekent dat lim (k®¥) van Ak.X eindig moet zijn. Dit kan enkel als X’ zo is dat Lk.X’ geen componenten lik bevat met |li|>1. Deze componenten leiden namelijk tot oneindige limieten. X is dus van de vorm V.X’ waarbij x’i=0 als |l|>1. Of nog: als U={vj} de subset is van eigenvectoren bij eigenwaarden l met |l|1, dan moet XÎspan(U). Of nog anders: X moet een lineaire combinatie zijn van eigenvectoren die horen bij eigenwaarden die in absolute waarde niet strikt groter zijn dan 1. Dit betekent concreet dat X van de vorm (m,0,-7m,4m) moet zijn, maar dan kunnen niet alle componenten terzelfdertijd groter dan 0 zijn... Enkel met m=0 en X=0 zouden we dan een oplossing hebben... Groetjes, Johan
1, dan moet XÎspan(U). Of nog anders: X moet een lineaire combinatie zijn van eigenvectoren die horen bij eigenwaarden die in absolute waarde niet strikt groter zijn dan 1. 