We volgen de eindpunten van de wijzers van een uurwerk. Daartoe brengen we een assenstelsel aan met de oorsprong in het draaipunt van de wijzers, de positieve x-as door “3 uur” en de positieve y-as door “12 uur”. We rekenen de tijd t in uren, vanaf 0:00 uur. De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de grote wijzer zijn: x=3sin 2ðt, y=3cos2ðt. De bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de kleine wijzer zijn:
x=2sin 1/6ðt, y=2cos 1/6ðt. Op het tijdstip t = 0 liggen de wijzers over elkaar heen.
8 Bereken het eerste tijdstip na t = 0 waarop dit weer het geval is. Bedankt Als je me kan helpen want ik weet het niet.
Mariso
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 13 mei 2007
Antwoord
Hallo,
Dit kan je op twee manieren oplossen: ofwel door logisch te redeneren, ofwel door met de formules te werken.
De eerste manier: om 0 uur liggen de wijzers over elkaar, vanaf dan gaat de grote wijzer sneller dan de kleine, dus na een tijd zal de grote wijzer de kleine 'dubbelen'. Dat gebeurt dus ergens na één uur, het is niet moeilijk in te zien dat dit gebeurt om iets na vijf over één. Dan gebeurt weer hetzelfde, en de grote wijzer dubbelt de kleine opnieuw om iets na tien over twee. En zo gaat dat steeds verder: om dik kwart na drie, twintig na vier,... De twaalfde keer dat het gebeurt is om exact twaalf uur, en dan staan beide wijzers opnieuw bovenaan. Beide wijzers bewegen met constante snelheid, dus tussen twee overlappingen ligt telkens dezelfde tijd. Eventjes natellen leert dat de twaalf uren op die manier in elf gelijke delen moeten worden verdeeld. Dus de eerste nieuwe overlapping gebeurt na 12/11 uren, dit is om 1u 5' 27.2727...'
De tweede manier: de coëfficiënten 2 en 3 geven weer dat je te maken hebt met een kleine en een grote wijzer, dus voor wat betreft het over elkaar liggen, maakt dat niet uit. Je moet dus een t vinden waarvoor sin(2$\pi$t)=sin($\pi$t/6) en cos(2$\pi$t)=cos($\pi$t/6). De twee hoeken 2$\pi$t en $\pi$t/6 hebben zowel de zelfde sinus als dezelfde cosinus, dus moeten ze aan elkaar gelijk zijn, op een veelvoud van 2$\pi$ na.
Dus los de vergelijking op: 2$\pi$t = $\pi$t/6 + 2k$\pi$ waarin k een geheel getal is. Dit geeft 11$\pi$t/6 = 2k$\pi$ dus t = 12/11 k met k een geheel getal. Dus de eerste keer dat er overlap is na t=0, wordt gegeven door k=1, en dus t=12/11, en dat is gelukkig hetzelfde resultaat als met de eerste manier...
Re: De wijzers van een uurwerk
