In een Practicum over getallenrijen wordt gevraagd welke meetkundige rijen voldoen aan de Fibonacci eigenschap, namelijk 1 + r = r2. Ik begreep dit niet en ben gaan zoeken. Ik vond in WisFaq het volgende: er zijn machtrijen 1, t, t2, t3, t4 die de Fibonacci-eigenschap hebben: u(n) = u(n-1) + U(n-2) en de t voor zo'n machtrij moet dan voldoen aan 1 + t = t2. Ik snap de twee stappen niet. Hoe kan een machtrij 1, t, t2 de Fibonacci eiegenschap hebben en waarom is dan weer 1 +t = t2?
Kun je me dit uitleggen? Li-an
Li-an
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 18 april 2007
Antwoord
Hallo Li-an, De bedoeling is dit: Bij een rij u(0), u(1), u(2), .... die volgens een bepaald recept gebouwd is, Bv. u(n+1) = 3u(n) - 2u(n-1) , zijn dit de rijen: 1, 2, 4, 8, ..... dus zeg maar v(n) = 2n en 1, 1, 1, 1, .... w(n) = 1n Iedere (zogenaamde lineaire) combinatie is dan ook goed bv: u(n) = 5v(n) + 3w(n) Dat is dus de rij: 8, 13, 23, 43,... voldoet ook aan het voorschrift. Blijft het probleem: hoe vind je die meetkundige rijen? Nou , gewoon door proberen: Welke meetkundige riij u(n) = tn voldoet bv aan u(n+1) = 3u(n) - 2u(n-1) ? Vul maar in: tn+1 = 3tn - 2tn-1. deel door tn-1, dan krijg je : t2 = 3t - 2 Met de oplossingen: t = 2 en t =1 en dus de twee meetkundige rijen hierboven. Bij de Fibonacci rij gaat het net zo. Alleen zijn de twee oplossingen van t2 = t + 1 wat ingewikkelder. Er zit een Ö 5 in. Maar zo kun je wel verder denk ik. Succes ermee
