\require{AMSmath}

Lastige integraal: mogelijk of niet, en zo ja: hoe op te lossen?

Hallo, ik ben laatst een klein projectje begonnen om magnetische velden te beschrijven van elektrische ladingen die een oneindig kleine cirkelbaan beschrijven. Ik ben al een flink eind op weg, en heb nu drie formules die de x, y en z voorstellen van de vector die de RICHTING (niet de sterkte, want die zou oneindig klein zijn bij een oneindig kleine cirkelbaan)aangeeft van het magnetisch veld op een bepaald punt, afkomstig van een elektrisch geladen deeltje in een cirkelvormige baan met een diameter d, voor elke positie h (hoek) die het deeltje heeft in de cirkelbaan. Nu wil ik al deze vectoren bij elkaar optellen zodat ik het magnetisch veld kan berekenen van de complete cirkelbaan, maar dit lukt mij niet.

Dit zijn de formules:

fx=^(cos(h)·k)/_{Ö(k²+(d-sin(h)·j-cos(h)·i)²)}

fy=^(sin(h)·k)/_{Ö(k²+(d-sin(h)·j-cos(h)·i)²)}

fz=^{(d-sin(h)·j-cos(h)·i)}/_{Ö(k²+(d-sin(h)·j-cos(h)·i)²)}

Deze formules moeten nu geintegreerd worden over h, met als domein -p tot p, of 0 tot 2p, dat maakt hier niet zo veel uit.
Ik heb Maple 10 proberen te gebruiken toen ik er zelf niet meer uit kwam (veel verder dan k als constante naar buiten halen kwam ik niet, want volgens mij moet ik daarna een geschikt substituent zoeken, en dat lukt me echt helemaal niet) maar Maple loopt vast op de formule, hij rekent de formule niet fout maar blijft er gewoon aan rekenen tot ik een ons weeg. Maar Maple is ook niet perfect, dus vroeg ik me af of iemand hier genoeg kennis heeft van integralen om deze integralen uit te kunnen rekenen. Desnoods maar één van de drie formules, in ieder geval iets waarmee ik verder op weg kan, want nu zit ik helemaal vast.

Alvast bedankt!

Erik Stens

Erik S
Student universiteit - dinsdag 17 april 2007

Antwoord

Beste Erik,

Zoals je het nu opschrijft is het ook wel een hele brutekrachtaanpak. Daar is nog een hoop aan te doen voor je in paniek moet raken.

Ik vermoed overigens dat i, j, k de coordinaten van het punt zijn en dat de cirkel in het xy-vlak ligt rond de oorsporng. Wat d is is mij nog niet duidelijk.

1) Probeer eerste eens wat vereenvoudigingen uit. Voor i=j=0 (op de z-as is het in ieder geval eenvoudig). Voor k=0 (het xy-vlak) zou je (als het klopt) alleen fz over moeten houden. Voor i=0 krijg je het xz-vlak.

2) Ook de vergelijkingen zijn te vereenvoudigen. Definieer f_evenwijdig = i*f_x+j*f_y en f_loodrecht = j*f_x-i*f_y. Met wat manipulatie moeten deze vergelijkingen gaan lijken op die uit het xz-vlak onder (1). Vervolgens zou f_loodrecht nul moeten zijn. Dan houd je een 2-dimensionaal probleem over zoals dat hoort voor een kringstroom.

3) Integreer het zaakje nu eens numeriek. Dat is niet zo moeilijk. Lijkt de uitkomst op een magneetveld. En als dat zo is, klopt het dan ook quantitatief met wat je elders kunt vinden. Zelfs als je alleen in exacte oplossingen geinteresseerd bent is dit belangrijk. Want zo kun je controleren of je vergelijkingen kloppen.

4) En kijk nu eens grondiger naar de literatuur. Is er een exacte oplossing voor dit systeem. Als die er is, dan moeten jouw vergelijkingen dus inderdaad te integreren zijn.

Succes! Laat me horen als je verdere vragen hebt. Groet. Oscar

os
woensdag 18 april 2007

©2001-2024 WisFaq