Mijn vraag is als volgt: hoe differentieer ik de volgende formule? F = (3500) : ( 1+ ( 34·(0,87 ^t)))
Het schijnt heel ingewikkeld te zijn maar ik wil het toch proberen te begrijpen. alvast bedankt.
jo
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 oktober 2002
Antwoord
Even vooraf: de afgeleide van 0,87^t is gelijk aan 0,87^t .ln(0,87) (de natuurlijke logaritme van het grondtal)
Vervolgens hangt het ervan af of je bekend bent met de quotiëntregel? Omdat deze regel niet in het Havoprogramma zit, ga ik er voor de zekerheid maar even vanuit dat die regel onbekend is.
Dan schrijf je de formule eerst als een product. Dat wordt:
F = 3500 . [1 + 34.(0,87)^t]-1.
Nu kun je differentiëren. De exponent -1 komt omlaag, er gaat vervolgens 1 vanaf en je moet dan nog vermenigvuldigen met de afgeleide van het stuk tussen de twee vierkante haken. Dit laatste op grond van de kettingregel.
Je krijgt nu het volgende:
F'= 3500 . (-1) . [1 + 34.(0,87)^t]-2 . 34 . (0,87)^t . ln(0,87). (de 1 tussen de haken sneuvelt; losse constanten worden altijd 0 als je differentieert)
En dit fraais kun je, als dat nodig is, nog schrijven als:
Uiteraard kun je de vaste getallen in de teller met elkaar combineren door ze in je rekenmachine in te tikken.
Nog even over de gebruikte kettingregel: als je [iets]^n wilt differentiëren, dan krijg je [iets]^(n-1) . iets' Je haalt de exponent dus zoals altijd gewoon omlaag en trekt er dan 1 vanaf, maar vervolgens moet je nog dóórvermenigvuldigen met de afgeleide van hetgeen tussen de haakjes staat (hier even "iets" genoemd). Natuurlijk is dit wel een erg kort-door-de-bocht-verhaal, maar in de praktijk kom je de regel op deze manier het meest tegen.
