We zijn bij een differentiaalvergelijking uitgekomen op: (S=gebruik ik als integraalteken) S 1/y dy=S 1/x dx hoe moet ik dit primitiveren?
in antw.bk staat als antw: ½y=½x+C
met welke berekening zijn ze hierop uitgekomen?
anne z
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 27 oktober 2002
Antwoord
Je bedoelt waarschijnlijk
(1/y).dy=(1/x).dx maar dan zonder het integraalteken. 'Het is weliswaar een subtiel verschil, want ook hier moet je links en rechts primitiveren. Maar als je er een integraalhaak voorzet, hoort er een boven- en een ondergrens bij.
Hoe primitiveer je (1/y) naar y? Wel, (1/y) is hetzelfde als 1/y1/2 = y-1/2 Wanneer je dit wilt primitiveren, dan moet de exponent eentje opgehoogd worden (en verandert dus van -½ in +½) en dan moet je als voorfactor het omgekeerde van die nieuwe exponent plaatsen. dus 1/(+½) = 2 Þ 2.y1/2 hetgeen hetzelfde is als 2y. Maar er moet ook nog een constante bij, C1, want 2y is een primitieve van 1/y, maar -zeg- 2y + 18 is dat ook, en 2y -6. primitieve van 1/y is dus 2y + C1.
Wanneer je DENKT de primitieve gevonden te hebben, neem altijd de proef op de som door er weer de afgeleide van te nemen en kijk of je dan weer op de oorspronkelijke functie uitkomt. En dan zie je gelijk wat je nog eventueel aan die primitieve moet "sleutelen" om 'em wel goed te krijgen.
Rechts stond (1/x)dx De primitieve naar x (omdat er dx achter staat) is dus 2x + C2.
Met C2 om aan te geven dat dit een andere constante is dan die links staat. Welnu, er staat dus 2y + C1 = 2x + C2 Maar omdat we beide C's toch niet kennen, halen we die naar één kant, nemen we ze samen, en noemen dat de constante C. dus 2y = 2x + C
y dy=S 1/