\require{AMSmath}

Logaritmen en complexe getallen

Ik moet voor mijn werkstuk over logaritmen vertellen wat het verband met complexe getallen is. Nu lukt dat me niet, ik snap wat complexe getallen zijn maar het verband...
Kunt u het me uitleggen?

Karlij
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 23 maart 2007

Antwoord

Beste Karlijn,

Bij de onderstaande link vind je een heel verhaal. Hier een klein overzicht.
Als je complexe getallen kent, weet je ook dat:
exp(a+bi) = exp(a)(cos(b)+isin(b))
(b is het argument en exp(a) de absolute waarde)
anders eerst dit uitzoeken...

Het logaritme is de inverse.
B.v: exp(¹/₂ln(2)+¹/₄pi) = 1+i
Dus: log(1+i) = ¹/₂ln(2)+¹/₄pi.
Oftewijl: het imaginaire deel van log(z) is het argument van z, en het reeele deel geeft de absolute waarde.

Maar, hier zit het probleem.
Want ook: exp(¹/₂ln(2)+2¹/₄pi) = 1+i
Dus is het argument van 1+i nou ¹/₄p of 2¹/₄p?

Je kunt het argument rekenen vanaf de positieve x-as.
Maar dan krijg je een probleem met de continuiteit:
Het argument van log(1-0,01i)6,27 en log(1+0,01i)0,01.
Dus een heel klein verschil tussen twee complexe getallen kan
een grote verandering van het argument geven.

Je moet dus besluiten van waar tot waar je het argument laat lopen.
Het kan van 0 tot 2p. Maar gebruikelijker is van -p tot p.
De plek waar je dat doet heet de coupure. Daar maakt de logaritme
een sprong.

De coupure heeft veel gevolgen. Vooral als je gaat integreren. En
dat niet alleen voor log() maar voor de meeste functies. Immers:
z^a = exp(alog(z)). Dus b.v. de functie Öz
heeft ook een coupure. Ga dat maar eens na.

Ik hoop dat je hier wat aan hebt. Groeten. Oscar

Zie Complex Logaritme (wikipedia)

os
vrijdag 23 maart 2007

©2001-2024 WisFaq