Een som in het boek luidt als volgt: Bij een biologisch expiriment met muggen wordt de grootte van de muggenpopulatie gegeven door m(t+1)= m(t)+ 0,5·m(t)·(1-0,02m(t)). Er wordt begonnen met 10 muggen en de tijd is in perioden van drie dagen.
(a)Bereken de groeifactor Ik heb dit gedaan door groeifactor = 1+groeivoet. Ik heb 0,5 + 1 = 1,5 gedaan, maar weet niet of dit klopt.
(b)Bereken het verzadigingsniveau Dit vat ik dus niet: ik heb in mijn GR afgelezen dat het verzadigingsniveua 50 moet zijn, maar ik snap niet hoe je dit nu met de formule kan berekenen.
S
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 24 oktober 2002
Antwoord
Hoi,
Een aantal definities de interpretatie van dat model is niet volledig duidelijk.
Volgens mij is de populatie m(t+1) af te leiden uit de populatie m(t) op moment t door rekening te houden met een aangroei van 1 mug per 2 adulten op m(t) en een sterfte die evolueert volgens 0.5x0.02.m2(t). Dat kwadraat is niet voor de hand liggend, misschien een model voor verzwakking door inteelt, gebrek aan voedsel, beperkte levensduur enz...
Hoe dan ook, je vindt dan: m(t+1)=m(t)+0.5.m(t)-0.01.m2(t). Je weet dat m(0)=10 (evenveel mannetjes als vrouwtjes, gelijke kans op geslachten bij voortplanting enz).
De groeivoet is dus 0.5 en de groeifactor als theoretische grootheid 1+0.5=1.5 (zoald bij interestberekening).
Het verzadigingsniveau kunnen we biologisch zien als het punt waarbij sterfte en geboortes elkaar compenseren: 0.5.m(t)-0.01.m2(t)=0 dus: m(t)=50. Of nog: de populatie blijft op eenzelfde aantal m(t+1)=m(t), waaruit je ook de verzadiging vindt.
Wiskundig kan je de differentievergelijking oplossen en m(t) schrijven als een expliciete formule in t. Je kan dan een bepaalde positieve coëfficiënt van ax als groeifactor zien en de limiet berekenen voor t®¥. Maar dit was niet je vraag.
Je kan het ook in Excel eens narekenen voor de eerste 20 waarden van t. Je ziet zo onmiddelijk wat de verzadigingswaarde is en hoe de populatie evolueert.
