\require{AMSmath}

Modulus en argument

(-Ö3 - i)^40

Bepaal modulus en argument
----------------

w=-Ö3 -i
|w|=Ö( (-Ö3)^2 + (-1)^2) = Ö4 = 2

tan (theta) = -1 / -Ö3 = 1/Ö3
theta = tan^-1 ( 1/Ö3)= 30 graden

Dus theta is p/6 of -5p/6

w ligt in het 3e kwadrant, dus theta is p/6 (klopt dit?)

Moivre:
w^k=|w|^k (cos(k theta) + i sin (k theta))

dus w^40=2^40 ( cos 40p/6 + i sin 40p/6)

dus dan denk ik dat

|w^40|= Ö ( (-2^40) /2)^2 + ((Ö3 * 2^40)/2)^2 )

En dit komt bij lange na niet overeen met het antwoord: 2^20. Hoe ik nu bij de modulus zou moeten komen weet ik dus ook niet.

Wat doe ik fout?

ronald
Student universiteit - woensdag 21 februari 2007

Antwoord

Je bepaalt correct de modulus (namelijk 2) van w, maar bij het argument ga je in de fout: als je een snelle schets maakt zie je dat p/6 een hoek in het eerste kwadrant is, terwijl -5p/6 in het derde kwadrant ligt, waar dus ook w ligt. Dus theta=-5p/6.

De formule van De Moivre zegt dan inderdaad dat de modulus tot de 40ste macht wordt gedaan (dus modulus=2⁴⁰) en dat het argument wordt vermenigvuldigd met 40, dus argument=-200p/6=-100p/3; je telt er 34p=102p/3 bij om tussen -p en p te komen. Resultaat: argument = 2p/3.

Dus de modulus van w⁴⁰ is 2⁴⁰; het argument is 2p/3, die 2²⁰ lijkt me dus wel fout...

Christophe
woensdag 21 februari 2007

©2001-2024 WisFaq