In mijn wiskunde boek moet ik een diffentiaal vergelijking oplossen. dh/dt=-k/(10-0,5h)2 met beginvoorwaarde h(0)=20. Een kaars waarover dit onderwerp gaat brandt 8 uur. Dit moet ik exact kunnen aantonen maar ik kom er niet uit. Misschien dat jullie me kunnen helpen
alvast bedankt,
laurens
lauren
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 16 januari 2007
Antwoord
Dag Laurens,
De makkelijkste methode om deze differentiaalvergelijking op te lossen, is het scheiden van variabelen. Je variabelen zijn hier de tijd t, en de functie van de tijd, h. Je gaat nu proberen alles met een h aan de linkerkant te brengen, en alles met een t naar rechts.
De dt in de noemer van het linkerlid komt dus in de teller van het rechterlid terecht, het kwadraat in de noemer van het rechterlid komt naar de teller van het linkerlid. De k is een constante, die mag dus eender waar staan, dus laat die maar gewoon rechts staan.
Je krijgt dan: (10-0,5h)2 dh = - k dt
Nu zet je aan beide kanten een integraalteken voor de uitdrukking, en je voert de twee integraties uit. Rechts is dat heel eenvoudig, links staat er eigenlijk ook een basisintegraal, je zal iets met een derde macht krijgen. Vergeet niet een constante C in te voeren, je hebt immers te maken met onbepaalde integralen! Je zou iets moeten uitkomen als
-2/3 (10-0,5h)3 = -kt + C
En dan gebruik je de beginvoorwaarde die zegt dat als t=0 dan h=20 om de constante C te bepalen. Het andere gegeven (als t=8 dan h=0 veronderstel ik, want de kaars brandt acht uur zeg je) kan je dan allicht gebruiken om de constante k te bepalen, waarna het hele probleem opgelost is en je de hoogte van de kaars op eender welk tijdstip kan berekenen tussen 0 en 8.
