\require{AMSmath}

Bewijs met volledige inductie

Hallo,
Ik moet bewijzen met volledige inductie dat het aantal diagonalen in een n-hoek (n2) gelijk is aan 0,5n(n-3)
Aub niet al te moeilijk geargumenteerd als het kan 3VWO.
Bij voorbaat dank

Pascal
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - maandag 15 januari 2007

Antwoord

n=3 is een beetje flauw maar de formule klopt wel: het aantal diagonalen is namelijk 0. Ik neem verder startwaarde n=4 (had ook n=3 mogen zijn).
Voor n=4 komt uit de formule ¹/₂n(n-3)=¹/₂·4·(4-3)=2: klopt ook, want een vierhoek heeft 2 diagonalen!

Nu de inductiestap: we nemen aan dat voor een n hoek de formule klopt en bewijzen dan dat die formule voor een n+1 hoek ook klopt.
Aanname: voor een n hoek is het aantal diagonalen:
¹/₂·n·(n-3)= ¹/₂·n²-1¹/₂·n

Nu controleren we of voor een n+1 hoek het aantal diagonalen
¹/₂·(n+1)·(n+1-3) bedraagt ofwel ¹/₂·(n+1)(n-2)= ¹/₂n²-¹/₂n-1.
Dat moet er dus uitkomen als de formule juist is.

Als we van een n hoek een n+1 hoek maken (gewoon door ergens een hoekpunt bij te maken) dan komen er n-1 diagonalen bij.
Dat zit zo: je stopt ergens een hoekpunt tussen. De twee naastgelegen hoekpunten leveren dan samen een extra diagonaal naar elkaar op. En vanuit het nieuwe punt gaat dan een extra diagonaaal naar de andere n-2 hoekpunten. Dus je krijgt er n-1 diagonalen bij. Bij n hoekpunten had je er ¹/₂·n²-1¹/₂·n daar komen n-1 bij dus wordt het totaal:
¹/₂·n²-1¹/₂·n + n - 1 = ¹/₂n²-¹/₂n-1. En dat is precies wat we moesten hebben.

Met vriedelijke groet
JaDeX

jadex
dinsdag 16 januari 2007

©2001-2024 WisFaq