Ik ben bezig met een PWS over kegelsneden. Nu ben ik al een poosje aan het speuren naar het bewijs van de algemene vergelijking van de kegelsneden. Namelijk: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F. Weten jullie waar dat te vinden is, of hebben jullie hem zelf? Alvast bedankt Harm
Harm
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 26 december 2006
Antwoord
Ik denk dat je de vraag anders moet benaderen. Na invoering van een geschikt assenstelsel blijken de vergelijkingen van de bekende kegelsneden (cirkel, ellips, parabool) alle te passen in het schema Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. Zo krijg je bijvoorbeeld voor het zestal (A,B,C,D,E,F) = (1,0,1,4,6,-23) een cirkel, terwijl het zestal (3,-10,3,14,-2,3) een hyperbool oplevert. Ook de zogenaamde ontaarde kegelsneden (punt of lijn) vallen mooi in dit algemene formuleschema. Zo krijg je voor het zestal (1,0,1,0,0,0) alleen maar het punt (0,0) terwijl het zestal (1,-1,1,0,0,0) de lijn y=x geeft.
Nadat eenmaal is vastgesteld dat alle kegelsneden onder die algemene formule vallen, draait de wiskunde het hele zaakje gewoon om: elke kromme die onder die formule blijkt te vallen, wordt eenvoudigweg kegelsnede genoemd! Je moet dan ook niet zoeken naar een algemeen bewijs van die formule, maar naar de afleiding van de formules voor ellips, hyperbool en parabool. En die zijn in elk boek dat over de analytische meetkunde gaat te vinden.
