hou, dit is de limiet: lim x$\to$10 x√x-3 / (x-10)2 hoe ik het zou berekenen is: de noemer uitschrijven tot x2-20x+100 de graad van de teller is kleiner dan die van de noemer $\Rightarrow$ deze limiet gaat naar oneindig juist? dank
Lina
Student universiteit België - maandag 25 december 2006
Antwoord
Nee, niet juist... (alhoewel de uitkomst wel juist is)
Die truc met het kijken naar de graad van teller en noemer gaat alleen op als je de limiet van een uitdrukking moet berekenen, voor x gaande naar oneindig.
Als x naar een getal toegaat (zoals hier 10) dan moet je gewoon dat getal invullen. En dan zijn er enkele mogelijkheden: - ofwel kom je een getal uit (kan ook nul zijn), dat getal is dan je limiet - ofwel kom je uit op een getal (niet nul) gedeeld door nul, dan is je limiet oneindig (plus of min oneindig, dat moet je dan nog wel apart bekijken door het teken van teller en noemer te onderzoeken) - ofwel kom je uit op 0/0 en heb je dus een onbepaaldheid die je op één of andere manier moet wegwerken (zie bijvoorbeeld de regel van de l'Hôpital of de technieken uit je vorige vraag)
Hier zit je in dat tweede geval: als je x=10 invult krijg je 10·√7/02. Dus is je limiet gelijk aan plus of min oneindig. We kijken naar de teller, die is duidelijk positief. En ook de noemer is positief, want het is een kwadraat. Vandaar de uitkomst plus oneindig. Als dat kwadraat er niet had gestaan in de opgave, dan had je een verschillend resultaat gehad voor linker- en rechterlimiet. Want voor x gaande naar 10 maar kleiner dan 10 (=linkerlimiet) is de noemer x-10 dan negatief, zodat de linkerlimiet min oneindig zou zijn. Voor x gaande naar 10 maar groter dan 10 (=rechterlimiet) is de noemer x-10 dan positief, zodat de rechterlimiet plus oneindig zou zijn.
) 