Ik ben lineaire algebra 2 aan het leren en kom een klein beetje vast te lopen bij een beeld krijgen van wat een hermites geadjungeerde matrix is. In mijn dictaat staat de volgende propositie:
Laat V een eindig-dimensionale reele (resp. complexe) vectorruimte met inwenig product ( , ) zijn. Zij N={v1,...,vm} een ortonormale basis van V en zij verder T:V-V een lineaire afbeelding. De matrix van de geadjungeerde T* t.o.v. de basis N is de getransponeerde (resp. de hermites geadjungeerde) van de matrix van T t.o.v. de basis N.
In het reele geval is het uiteraard makkelijk, maar de hermites geadjungeerde is voor mij nog een beetje vaag. Hoe bereken je een hermites gedajungeerde matrix. Zou u een klein voorbeeld kunnen geven? Verder ben ik ook benieuwd naar het nut van de geadjungeerde matrix.
Alvast bedankt voor de hulp :D groetjes, Mick Kahmann
Mick K
Student universiteit - dinsdag 19 december 2006
Antwoord
Dag Mick,
De hermitisch toegevoegde (of Hermitisch geadjungeerde) van een matrix is makkelijk te bepalen: je transponeert eerst je oorspronkelijke matrix, en dan neem je van elk element de complex toegevoegde.
Dus bijvoorbeeld: als A = 1+3i 5+7i 9-2i 8+2i 1-4i 7-7i 2+2i 5-4i 1-9i
dan is de Hermitisch gedajungeerde hiervan: 1-3i 8-2i 2-2i 5-7i 1+4i 5+4i 9+2i 7+7i 1+9i
Je ziet meteen dan de Hermitisch geadjungeerde van de Hermitisch geadjungeerde van A, A zelf is. En als A een reële matrix is, dan is de Hermitisch geadjungeerde van A hetzelfde als de getransponeerde van A. Vandaar dat het resultaat dat je geeft voor het reële geval, eigenlijk ook opgaat in het complexe geval.
En dan het nut ervan: je geeft hier al een voorbeeld, namelijk de Hermitisch geadjungeerde is nodig bij een bepaalde transformatie van een lineaire afbeelding. Maar het Hermitisch toevoegen is eigenlijk wel vrij belangrijk in andere toepassingen, het is eigenlijk de meest logische uitbreiding van het transponeren naar complexe matrices. Een interessant begrip is ook het self-adjoint zijn (Nederlands: Hermitisch zijn). Dat houdt in dat een matrix gelijk is aan zijn Hermitisch geadjungeerde. Deze matrices hebben heel interessante eigenschappen: bijvoorbeeld hebben ze reële eigenwaarden, met eigenvectoren die een orthonormale basis vormen.
Het begrip Hermitisch geadjungeerde heb je ook nodig voor het ook al belangrijke begrip unitaire matrix: U is unitair als zijn inverse gelijk is aan zijn Hermitisch geadjungeerde. Unitair zijn is de logische complexe uitbreiding van het orthogonaal zijn van matrices. Bij deze matrices vormen dan weer de rijen een orthonormale basis, en ze hebben altijd determinant 1 of -1, wat maakt dat ze de lengte van vectoren behouden: als Uv=w dan hebben v en w dezelfde lengte. Bovendien vormen de unitaire matrices een groep, zodat ook daar weer veel interessante dingen mee te doen vallen...
Enfin, dit alles maar om te zeggen dat dat Hermitisch toevoegen wel regelmatig gebruikt wordt in lineaire algebra en ver daarbuiten :-)
V een lineaire afbeelding. De matrix van de geadjungeerde T* t.o.v. de basis N is de getransponeerde (resp. de hermites geadjungeerde) van de matrix van T t.o.v. de basis N. 