Laat A de deelverzameling zijn van [0,1] dat uit alle getallen bestaat die niet het getal 7 in hun decimale ontwikkeling hebben.Vind m(A).
Ik heb enkele vragen over de oplossing van dit probleem: Oplossing Neem een bepaald vast getal bijvoorbeeld in dit geval 7, en laat E_n={0.a_1a_2a_3...a_n : a_n=7, a_i ongelijk 7 voor in}.De verzameling E_n zijn disjunct en de maat van zo'n verzameling is gelijk aan m(E_n)=(1/10)*[(9/10)^(n-1)] vraag1.Waarom is m(E_n)=(1/10)*[(9/10)^(n-1)] ?
De vereniging van deze E_n, noem deze E, is de verz van reeele getallen die ergens in hun decimale ontwikkeling een 7 hebben en er geldt m(E)=1 vraag2.Waarom is m(E)=1?
Dus ieder deelverzameling A van [0,1] dat uit reeele getallen bestaat met in hun dec.ontw. geen 7 heeft maat 0, m(A)=0. vraag3.Waarom is m(A)=0?
Groeten, Viky
viky
Student hbo - dinsdag 5 december 2006
Antwoord
Dag Viky,
Vraag 1: kansrekening: je begint met a1, dat kan een 0, 1,2,3,4,5,6,8 of 9 zijn. Dus alleen de getallen die met 0,7 beginnen laat je vallen. Ook a1 mag geen zeven zijn, dus er blijft nu nog 81/100 van je startinterval [0,1] over. En zo verder, tot an-1. Zo blijft er (9/10)n-1 van je interval over, als je dan eist dat an een zeven is, dan blijft daar nog een tiende van over.
Vraag 2: E is de unie van alle En. Bovendien hebben al die En een lege doorsnede (ze zijn disjunct). Dus de maat van E is de som van de maten van En, voor n gaande van 1 tot oneindig. Dit is een reeks die je makkelijk kan uitrekenen, want het is een meetkundige reeks. En ze komt uit op 1.
Vraag 3: per definitie is A het complement van E in het interval [0,1], dus AÈE=[0,1] en A$\cap$E=Æ. Dat impliceert dat m(A)+m(E)=m([0,1]), dus m(A)+1=1 wegens het voorgaande, dus m(A)=0.
n}.De verzameling E_n zijn disjunct en de maat van zo'n verzameling is gelijk aan 