De som van de kwadraten van drie opeenvolgende natuurlijke getallen eindigt op 9 en is kleiner dan 500. Bepaal deze getallen en geef alle oplossingen. (Als tip staat er gegeven : Als je een getal dat eindigt op het cijfer 9 vermeerdert met 1 bekom je een tienvoud.)
Ik heb gevonden: x2+(x+1)2+(x+2)2500 en ik dacht x2+(x+1)2+(x+2)2+1=10y
Kunnen jullie me wat op weg helpen a.u.b.???
Dank u
Kevin
2de graad ASO - maandag 27 november 2006
Antwoord
Als je de getallen x, x+1 en x+2 noemt, is de som van hun kwadraten 3x2+6x+5.
Als dat een getal moet voorstellen dat eindigt op een 9, dan is volgens de tip 3x2+6x+6 een getal dat deelbaar is door 10. Nu is 3x2+6x+6=3(x2+2x+2) en aangezien die 3 geen bijdrage levert tot het deelbaar zijn door 10 (maw 3 en 10 zijn onderling ondeelbaar), is het dus de factor x2+2x+2 die moet deelbaar zijn door 10.
De oneven waarden voor x kunnen we al direct uitsluiten, want voor die x-waarden is x2+2x+2 zelf oneven en dus zeker niet deelbaar door 10. Voor de overblijvende mogelijke resten van x bij deling door 10 vind je achtereenvolgens:
x=0 mod 10 = x2+2x+2 = 2 mod 10 x=2 mod 10 = x2+2x+2 = 0 mod 10 == x=4 mod 10 = x2+2x+2 = 6 mod 10 x=6 mod 10 = x2+2x+2 = 0 mod 10 == x=8 mod 10 = x2+2x+2 = 2 mod 10
Als de rest van x bij deling door 10 gelijk is aan 2 of 6, zal x2+2x+2 een tienvoud zijn en dus ook 3x2+6x+6. De mogelijke oplossingen zijn dus
500 en ik dacht 
x2+2x+2 = 2 mod 10 