\require{AMSmath}

Oplossing van differentiaalvergelijking

Wat is de oplossing (y(t)) van de volgende differentiaalvergelijking? Ik kom er niet uit.

y'= t sinh(t)·tanh(y)

y(t)met y(0)=0
en y(t) met y(0)=ln(2)

Karin
Student universiteit - vrijdag 24 november 2006

Antwoord

dy/dt = t.sinh(t)*tanh(y) Û
dy/tanh(y) = t.sinh(t)dt Û
d(ln(sinh(y)) = d(tcosh(t)-sinh(t)) Þ

ln(sinh(y)) = t.cosh(t)-sinh(t) + C Û
sinh(y) = C₂.exp(t.cosh(t)-sinh(t)) Û

omdat sinh(y)=f(t) is y=ln(f(t)+Ö(f(t)²+1))
zie http://www.sosmath.com/trig/hyper/hyper03/hyper03.html

dus y=ln(C.e^{t.cosh(t)-sinh(t)}+Ö(C².e^{2(tcosh(t)-sinh(t))}+1))

y(0)=0 leidt tot 0=ln(C+Ö(C²+1)) ofwel C=0. Dus opl. y=0

y(0)=ln2 leidt tot ln2=ln(C+Ö(C²+1))... C=3/4
dus y=ln(3/4.e^{t.cosh(t)-sinh(t)}+Ö(9/16.e^{2(tcosh(t)-sinh(t))}+1))

... Dit is waar ik op uitkom, maar misschien dat het 'juiste' antwoord er een stuk eleganter uitziet. Ik ben eigenlijk wel benieuwd. ;-)

groeten,
martijn

martijn

mg
zondag 26 november 2006

©2001-2024 WisFaq