\require{AMSmath}

Verwachtingswaarde

Een klein bedrijf produceert ronde houten borden. Als gevolg van de verschillende dikten van de gebruikte boomstammen kan de diameter van de borden enigszins varieren. De diamter (d) van de borden is een kansvariabele met een rechthoekige verdeling die weergegeven wordt door:
f(d)=0,2 voor 25 d30
f(d)=0 elders

Bereken de verwachtingswaarde van de oppervlakte van de geproduceerde borden.

Tom va
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 15 oktober 2002

Antwoord

Ik gebruik even ipv de variabele d, nu x. (met x waarschijnlijk in cm)
x is dus de dikte van de boomstammen.

Je moet goed op de betekenis van f(x) letten! Het is niet de kans-sec als functie van de dikte, maar de kans per cm. Dat is misschien even wennen om er zo tegenaan te kijken, maar het is eigenlijk exact hetzelfde principe als bij de beroemde klokkromme.
Bij de klokkromme heb je ook langs de horizontale as iets staan in -bijv- meters (bijvoorbeeld lengte van personen) en langs de de verticale as, staat in feite kans per meter. Waarom? Omdat de oppervlakte onder de klokkromme, moet "KANS" voorstellen, en oppervlakte is iets als horizontaal maal verticaal. De verticale as moet dus "kans/meter" zijn, en de horizontale as moet "meter" zijn.

terug naar jouw probleem:
Algemeen is verwachtingswaarde E(X) van een stochast X
E(X)=åx.p(X=x) ofwel de som van alle mogelijke uitkomsten x maal de bijbehorende kans p(X=x) dat deze optreedt.
in jouw geval praten we over een mogelijke uitkomst x, en een daarbijbehorende kans f(x).Dx (dus een heel dun reepje uit je kansverdelings-kromme) waarbij Dx®0, en dus Dx verandert in dx.

1 specifiek verwachtingswaardetje is dan x.f(x).dx

de totale verwachtingswaarde krijgen we door x.f(x).dx te integreren van 25 naar 30 cm. Immers, buiten deze range is f(x) toch nul.
òx.f(x).dx = ò0,2.x.dx = [0,1.x²]³⁰₂₅= 27,5

de verwachtingswaarde voor de diameter is dus 27,5 cm, hetgeen je ook al had kunnen zien aankomen uit de symmetrie van de rechthoekige kansverdeling.

Echter, het ging om de OPPERVLAKTE
de straal r van de borden: r= de helft van de diameter.
En de oppervlakte van een cirkel is r²

Ik hoop dat je er zo uitkomt.

groeten,
martijn

Zie ook Rechthoekige verdeling

mg
dinsdag 15 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq