Stelling Als g een meetbare functie is, dan bestaat er een rij {gn} van continue functies zodat gn bijna overal naar g convergeert.
Ik denk dat de volgende gegevens nuttig kunnen zijn,
1.Theorie Stel g is meetbaar op Rd.Dan bestaat er een rij van simpele functies {fn} (n=1 tot oneindig) dat voldoet aan, |fn(x)| =$<$ |fn+1(x)| en lim fn(x)=g(x) (n naar oneind.)
2.Continue functies zijn meetbaar. 3.Een simpele funtie f=som[ak·X_(Ek)(x)] (k=1 t/m N) is meetbaar d.e.s.d.a. E1,...,Ek meetbaar zijn. 4.Theorie van Egorov. 5.Theorie van Lusin. 6.Eigenschappen van meetbare functies.
Ik heb nu veel theorieën en gegevens maar het lukt me niet om de stelling te bewijzen.Ik denk dat ik bij de simpele fuincties moet beginnen.
Groeten,
Viky
viky
Student hbo - vrijdag 17 november 2006
Antwoord
Je zegt het er niet bij maar dit is hoogstwaarschijnlijk een vraag over Lebesgue-meetbare functie op een Rd. Voor positieve meetbare functies is 1 inderdaad nuttig, verder heb je alleen de karakteriseringen van meetbaarheid nodig uit het antwoord op je vorige vraag. 1. Als A meetbaar is dan bestaat bij elke epsilon$>$0 een gesloten F en een open O zo dat F$\prod$A$\prod$O en m(O\F)$<$epsilon. Definieer een continue functie f door f(x)=d(x,G)/(d(x,F)+d(x,G)) (G is het complement van O en d is de metriek). Dan geldt dat f(x)=1 als x in F en f(x)=0 als x buiten O ligt. Dus de maat van {x:f(x) is ongelijk aan $\chi$A(x)} is kleiner dan epsilon. 2. Laat s een stapfunctie zijn (een simpele functie dus), geschreven als som(ai$\chi$A(i), i=1..k). Kies voor elke i een functie fi als boven, voor A(i) en epsilon/k, en schrijf f=som(aifi, i=1..k); dan is f continu en de maat van {x:f(x) is ongelijk aan s(x)} is kleiner dan epsilon. 3. Laat g nu meetbaar en positief zijn, en (sn) een stijgende rij stapfuncties die puntsgewijs naar g convergeert. Kies voor elke n een continue functie fn zo dat de maat van Vn={x:fn(x) is ongelijk aan sn(x)} kleiner dan 2n. Vervolgens nemen we Wm gelijk aan de vereniging van de Vn voor n$\geq$m. Dat is de maat van Wm kleiner dan 1/2m-1; en voor x buiten Wm geldt dat fn(x)=sn(x) voor alle n$\geq$m, dus fn(x) convergeert dan naar g(x). Conclusie: als x niet in de doorsnede van de Wm zit dan convergeert fn(x) naar g(x), maar die doorsnede heeft maat nul. 4. Als g willekeurig is pas het bovenstaande toe op g+ en g-.
