\require{AMSmath}

Partieel integreren in meerdere stappen

Beste WisFAQ,

Ik heb zelf een aantal integralen geprimitiveerd met behulp van partieel integreren.
Maar nu zit ik vast bij een som, er is een x².
Hoe moet ik deze som nu verder oplossen? Er staat dat er verschillende stappen partieel integreren gebruikt moeten worden...

De som is:
òx²sin(x)dx

Hoe moet ik dit oplossen!?
Alvast bedankt,

Ruben

Ruben
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 3 november 2006

Antwoord

bij partieel integreren gaat het erom dat je bij een produkt van functies (in jouw geval x².sinx) het ene stukje primitiveert, en het andere stukje differentieert. Wanneer je dit *handig* doet kun je uiteindelijk dat 'vervelende' produkt laten verdwijnen.
We primitiveren eerst sinx (naar -cosx) en daarna differentiëren we de x² (naar 2x):

òx²sinxdx = [-x²cosx] - ò(-2xcosx)dx
= [-x²cosx] + ò2xcosxdx

Het slechte nieuws is dat ik nog steeds een integraal met een produkt erin heb overgehouden, maar het GOEDE nieuws is dat ik die x² ge'downgrade' heb naar 2x.
Dus als ik bij die intgeraal hetzelfde kunstje nògmaals toepas, misschien differentieer ik die x er dan wel helemaal uit:

... = [-x²cosx] + [2xsinx] - ò2sinxdx

Nou zijn we er bijna: alleen 2sinx nog primitiveren, en klaar:

= [-x²cosx + 2xsinx + 2cosx]

controleer deze primitieve door er weer de afgeleide van te nemen en te zien dat je weer op de oorspronkelijke functie x²sinx uitkomt.

groeten,
martijn

mg
vrijdag 3 november 2006

©2001-2024 WisFaq