\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 47305

Re: Algebraisch oplossen van x² = sin x

Bedankt voor het antwoord. Ik heb echter een ander soort gelijk probleem wat ik niet kan oplossen op deze manier. Ik zoek nu de grootst mogelijke r zodat |tan(x) - x| C|x^r| voor een C groter dan 0 wanneer x ® 0. Ik heb geprobeerd om tan(x) als mclaurin reeks te schrijven (omdat x -- 0) maar kan aan de hand hiervan niet afleiden dat de maximale r drie is.

Tim Ba
Student universiteit - donderdag 26 oktober 2006

Antwoord

De McLaurinreeks is inderdaad een goed idee hier (en bij de vorige opgave ook eigenlijk). Als je die van tangens opzoekt of opstelt, en je trekt er x af, dan krijg je als eerste term x³/3 (absolute waarde genomen).

Dus |tan(x)-x|=x³/3 + O(x^5). Die O stelt de orde voor, betekent dat de verdere termen allemaal graad 5 of hoger hebben. Als je dan r groter dan 3 kiest dan kan er geen C bestaan waarvoor de ongelijkheid geldt, want dan zou je hebben:
|tan(x) - x| C|x^r|
x³/3 + O(x^5) C|x^r|
x^3-r/3 + O(x^5-r) C

Maar die eerste term uit de laatste ongelijkheid gaat naar oneindig als x naar nul gaat, dus je kan geen C vinden zodat de ongelijkheid geldt voor elke x in een omgeving van nul.

Dus r3 mag niet, r3 duidelijk wel (met C=1/3 of groter).

Dezelfde redenering, maar dan met de McL reeks van sinx was ook een manier om de vorige oefening op te lossen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 26 oktober 2006

©2001-2024 WisFaq