Nee, ik begrijp het niet helemaal. Ik wil graag een keer een dergelijk bewijs zien, zodat ik weet hoe ik dergelijke bewijzen kan aanpakken... Want inductie kan hier niet, volgens mij...
Kees
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 21 oktober 2006
Antwoord
Aan je responstijd te zien heb je er toch niet al te lang over nagedacht :-) Maar inderdaad, de werkwijze die ik in gedachten heb is de enige methode die ik ken om dit te bewijzen. Bon, in meer detail dan: het is een bewijs uit het ongerijmde, dus we gaan eerst onderstellen dat er slechts eindig veel priemgetallen van de vorm 4n+3 zijn. Nummer al deze getallen, van p1 tot pN. Nu is de truc dat je kijkt naar het getal M, gevormd door vier maal het product van al deze getallen, min één. Dus definieer m := 4 * product(pi,i=1..N) en M := m - 1
Die m is duidelijk een viervoud, dus als je er één aftrekt krijg je dat M van de vorm 4n+3 is, akkoord?
Nu, ontbind M eens in priemfactoren. We onderscheiden drie soorten priemfactoren: - Het getal 2 - Priemgetallen van de vorm 4n+3 - Priemgetallen van de vorm 4n+1
Elk priemgetal zit duidelijk in één van die drie categorieën. Nu, vermits M een viervoud min één is, kan de priemfactor 2 niet voorkomen in de priemontbinding van M. Kan een priemfactor p van de vorm 4n+3 voorkomen in de priemontbinding van M? Ha nee, want die p zou dan per definitie ook voorkomen in m, wat zou betekenen dat de twee opeenvolgende getallen m en M, allebei door eenzelfde getal deelbaar zouden zijn, wat niet kan. Dus de priemontbinding van M bevat enkel getallen van de vorm 4n+1.
Maar als je twee priemgetallen van de vorm 4n+1 met elkaar vermenigvuldigt, dan krijg je weer een getal van de vorm 4n+1. Ga maar na: (4n+1)*(4n'+1) = 16n*n' + 4*n + 4*n' + 1 = 4*(4*n*n' + n + n') + 1 = een viervoud plus één. Dus ook M is van de vorm 4n+1.
En daar heb je de strijdigheid: M zou zowel van de vorm 4n+1 als van de vorm 4n+3 moeten zijn... Conclusie: er zijn wel degelijk oneindig veel priemgetallen van de vorm 4n+3.
Dit is een reactie op vraag 47203 
