Ik vroeg me af of deze vergelijking algebraisch is op te lossen. Overduidelijk is x=10 een antwoord maar 'je ziet zo dat x=10 een antwoord is' stelt mij niet tevreden. Verder is er nog een antwoord, dat ik ook algebraisch wil vinden.
Ik heb gedefinieerd:
f(x)=10^x g(x)=x^10
f(1)=10 g(1)=1
f(2)=100 g(2)=1024
Dus moet er ook gelden f(x)=g(x) voor een x element van (1,2).
Algebraisch proberen op te lossen leidt echter tot niets.
Alvast bedankt,
Tim
Tim
Student universiteit - zondag 1 oktober 2006
Antwoord
Dag Tim,
Voor dit soort van transcendente vergelijkingen is het in het algemeen onmogelijk de oplossing algebraïsch te vinden. Tenminste, als je enkel gebruik maakt van de klassieke functies als machtsfuncties, logaritmen enzovoort. Echter, voor dit soort van opgaven heeft men een aparte functie ingevoerd: de Lambert-W functie.
De definitie hiervan vind je onder meer op Mathworld. Het komt erop neer dat die functie zorgt voor de gelijkheid z = W(z) eW(z).
Hoe kan je nu deze definitie gebruiken om de oplossing te bekomen? Wel, op deze site staat een ander voorbeeld uitgewerkt, het komt erop neer dat je streeft naar een uitdrukking van de vorm yey.
In deze opgave: je gaat proberen alle x'en in x10=10x naar één kant te brengen, dat geeft: 1=x1010-x.
Dan wil je die e erin krijgen, dus 1=x10e-ln(10)x.
Dat is bijna goed, al heb je wel nog het verschil tussen x10 (als coëfficiënt voor de e) en x (als exponent bij de e). Dus nemen we gewoon de tiendemachtswortel links en rechts. Vermits we meteen alle oplossingen willen, dus ook complexe, beschouwen we alle tiendemachtswortels, dus we krijgen:
e2pik/10 = x e-ln(10)/10 x. waarbij k loopt van 0 tot 9, en i de imaginaire eenheid voorstelt (Ö(-1)).
Om dan volledig naar de vorm yey te gaan, maken we daarvan:
e2pik/10 (-ln(10)/10) = (-ln(10)/10) x e-ln(10)/10 x.
De substitutie y=-ln(10)/10 x geeft dan
e2pik/10 (-ln(10)/10) = y ey.
Denkend aan de definitie van Lambert-W functie, heb je dan dat y = W(e2pik/10 (-ln(10)/10)) dus x = -10/ln(10) * W( e2pik/10(-ln(10)/10) )
Even een Maple'tje ertegenaan gooien levert:
for k from 0 to 9 do evalf(-10/log(10)*LambertW(-log(10)/10*exp(I*Pi*k/5))) end do; 1.371288574 0.8098659883 + 0.8922662634 I 0.08171987236 + 1.015712734 I -0.4319404547 + 0.7956420293 I -0.7294388169 + 0.4273172275 I -0.8266713156 -0.7294388169 - 0.4273172275 I -0.4319404547 - 0.7956420293 I 0.08171987236 - 1.015712734 I 0.8098659883 - 0.8922662634 I
En dit zijn exact 10 van de 11 oplossingen die je krijgt als je intypt solve(x^10=10^x,x); Inderdaad, de meteen zichtbare oplossing x=10 komt dus niet voor in dit lijstje... En ik heb eerlijk gezegd geen flauw idee hoe dat komt. Overigens is het zo dat als je in plaats van 10 een ander natuurlijk getal n neemt, je altijd n oplossingen krijgt met die Lambertfuncties, en als je die waarden uitrekent blijkt altijd de oplossing x=n te ontbreken.
for k from 0 to 9 do