\require{AMSmath}

Maximale oppervlakte gelijkbenige driehoek

Hoe lang zijn de zijden van een gelijkenige driehoek wanneer de totale omtrek 25cm is en de oppervlakte maximaal moet zijn?!
ik krijg hier 3 onbekenden en weet er geen raad mee!

elfrid
3de graad ASO - woensdag 9 oktober 2002

Antwoord

Leuk sommetje. Je moet zorgen dat je het aantal onbekenden terugbrengt tot één; hoe doe je dat?

Neem even: z = de lengte van de gelijke benen, b = de lengte van de basis van de driehoek.
Dan geldt voor de omtrek: b + 2z = 25, dus b = 25 - 2z (*).
Voor de oppervlakte A geldt: A = ¹/₂·b·h ,
en de hoogte vind je met Pythagoras: h = (z²-(¹/₂b)²), dus
A = ¹/₂·b·(z²-(¹/₂b)²) (**)

Vul nu (*) in bij de vergelijking (**):
A = ¹/₂·(25 - 2z)·(z²-(12¹/₂ - z)²) , ofwel
A = (12¹/₂ - z)·(25z - 156¹/₄).

Nu heb je een probleem in slechts één variabele. Je kunt nu A(z) differentiëren (denk aan product- en kettingregel!), en daarmee vinden dat A maximaal is als z = 8¹/₃ en dus ook b = 8¹/₃.
Een gelijkzijdige driehoek dus!

Succes met de details!

jr
woensdag 9 oktober 2002

©2001-2024 WisFaq