\require{AMSmath}

Nulpunten reele polynoom van de oneven graad

Hoe kan je bewijzen dat een reëel polynoom van een oneven graad tenminste één reëel nulpunt heeft?

Dit moet blijkbaar bewezen kunnen worden met het feit dat het geconjugeerde van een complex nulpunt ook een nulpunt is van de vergelijking.

Schijnbaar is het makkelijk te bewijzen maar ik staar me er een beetje blind op...

Jonas
Student universiteit - woensdag 16 augustus 2006

Antwoord

Beste Jonas,

Dat is inderdaad een manier om het te zien. Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft elke veelterm van graad n, precies n nulpunten (waarvan er mogen samenvallen, dit zijn meervoudige nulpunten). Bovendien geldt inderdaad dat complexe nulpunten steeds in geconjugeerde paren voorkomen en dus altijd even in aantal zijn. Indien n oneven is, moet er dus minstens één reëel nulpunt zijn.

Aan de andere kant zal het gedrag van zo'n functie op oneindig bepaald worden door de term met de grootste exponent. Omdat deze oneven is, zal de limiet voor x gaande naar +¥ en -¥ verschillend zijn, maar in absolute waarde ook oneindig. De functie gaat met andere woorden van -¥ naar +¥ of omgekeerd, afhankelijk van het teken van die term. Omdat veeltermfuncties continu zijn op , moet je dan uiteraard ergens de x-as snijden en dus een reëel nulpunt hebben.

mvg,
Tom

td
woensdag 16 augustus 2006

©2001-2024 WisFaq