Hi, Gegeven kubus abcd.efgh: Vraag: Hoe kunnen àlle mogelijke unieke gesloten routes langs de ribben van de kubus berekend worden, waarbij voor elk traject elke rib maximaal 1 keer gebruikt wordt? vb: ab-bc-cd-da; vb: bf-fe-ea-ab; vb: ab-bc-cg-gh-he-ea; vb: fe-eh-hg-gc-cd-da-ab-bf; enz... Thx!
cornee
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 10 augustus 2006
Antwoord
Hey, Vele wegen leiden naar Rome natuurlijk... Ik zou het zo aanpakken: je ziet allicht wel in dat de routes die je wilt, altijd lengte 4 of 6 of 8 hebben, en dat een route nooit twee keer hetzelfde punt kan bevatten. Het lijkt mij dan ook logisch om die drie gevallen (4,6,8) apart te tellen. Bovendien spreken we af om altijd in het punt a te vertrekken, dan moet je enkel het eindresultaat maal 8 doen om alle routes te hebben.
- Routes met 4 ribben: dan blijf je in één zijvlak van de kubus. a ligt in drie zulke zijvlakken, en een route over een zijvlak kan je zowel in wijzerzin als in tegenwijzerzin doen, dus 2*3=6.
- Routes met 6 ribben: daarin zie ik twee gevallen: * Ofwel zitten je eerste drie ribben in hetzelfde zijvlak. Ga na dat, als je route zo begint, je slechts één keuze meer hebt om die af te maken. Vb ab-bc-cd kan je alleen afmaken met dh-he-ea. Dus ook hier heb je 2*3=6. * Ofwel zit je na drie ribben in het tegenoverliggende punt, dus in g. Dat kan je op 6 manieren bereiken, want voor de eerste ribbe heb je 3 keuzes, voor de volgende nog 2. Om van g terug naar a te raken heb je natuurlijk ook 6 routes. Echter, je mag geen terugroute nemen die ribben gemeenschappelijk heeft met de heenroute. Dat maakt dat je voor de terugroute maar 3 keuzes hebt. Voorbeeld: de heenroute abfg laat enkel de terugroutes ghea, ghda en gcda toe. Conclusie 6*3=18 manieren.
- Routes met 8 ribben: ook hier dezelfde opsplitsing. * Ofwel zitten de eerste drie ribben in hetzelfde zijvlak, dat legt de rest van de route volledig vast. * Ofwel zit je na drie ribben in g. Dat kan op 6 evenwaardige manieren. Kies er één uit, vb abfg, en kijk op hoeveel manieren je terug naar a kan komen in vijf ribben: gcdhea, en... dat lijkt mij de enige manier.
Alles nog eens natellen, alles optellen, maal 8 en je zou er moeten zijn... Groeten,
