Ik ben een tweedejaarsstudent Elektrotechniek aan de TU-Delft. Bij veel natuurkundevakken kom ik lijnintegralen en contourintegralen tegen. Na het vak complexe functietheorie kan ik deze integralen prima uitrekenen, dat wil zeggen... ik weet hoe het moet. Wat ik echter jammer vind, is dat ik nooit echt begrepen heb wat nu de meetkundige betekenis is van zulke integralen, als die er is. Ze komen best veel voor in de natuurkunde, bijvoorbeeld in de globale wetten van Maxwell. Toen voor mij een integraal nog gewoon een Riemann-integraal was, was het allemaal nog glashelder. Ik ben echter benieuwd naar wat nou de precieze betekenis van een lijnintegraal is. Misschien dat U een goed boek of een website weet, of dat U mij zelf een stukje opweg kan helpen? Ik heb de links op de site al gebruikt, en ook al op Mathworld gezocht, maar overal vind ik vooral de manier om ze uit te rekenen, en niet echt de betekenis. Dank bij voorbaat voor de moeite! Met vriendelijke groet,
Mark
Mark
Student universiteit - zaterdag 17 juni 2006
Antwoord
Hoewel de lijnintegraal dient voor diverse fysische situaties, is het begrip van een lijn-integraal misschien wel het makkelijkst te bevatten aan de hand van het begrip 'arbeid'.
Want van de lagere school weten we nog dat W=F·s (= F.s.cos$\theta$) Je duwt in horizontale richting tegen een kist, de kist verplaatst zich over s meter. En als die kracht nou maar a. 'lekker' constant is, en b. in dezelfde richting wijst als de verplaatsing, dan is W simpelweg het product van de absolute waarden (van de vectorgrootheden) F en s. klaar. :-)
... Een tikkie lastiger wordt het wanneer F weliswaar constant is (qua grootte en richting), maar F en s een hoek $\theta$ met elkaar maken. In dat geval neem je de projectie van F die parallel aan s staat, oftewel gooi de factor cos$\theta$ in je berekening en klaar ben je. (= F.s.cos$\theta$ dus)
N$\int{}$g lastiger wordt het wanneer F niet constant is, in grootte noch richting. Wat voor een concrete situatie zouden we ons hierbij kunnen voorstellen? Wel, bijvoorbeeld het duwen van een kist over een vooraf vastgesteld pad, waarbij de ondergrond inhomogeen is (zodat dus de grootte van de wrijving afhangt van de momentane locatie x,y en ook van de richting waarin de kist wordt opgeduwd.) Of een geladen deeltje dat een bepaald vooraf vastgesteld pad doorloopt in een inhomogeen electrisch veld. Het gaat er dan weer om om de verrichte arbeid te berekenen die verricht is DOOR DE BETREFFENDE KRACHT om dat deeltje van beginpunt A naar eindpunt B te krijgen langs dat pad. In ieder punt van de ruimte is de kracht F(x,y,z) die werkt op het deeltje, ānders. En slechts over een ^oneindig klein^ weglengtetje ds mag die kracht als constant verondersteld worden. Een verplaatsing over dat oneindig kleine weglengtetje ds waarbij kracht F ondergaan wordt, levert dus een oneindig kleine bijdrage aan de verrichte arbeid die voor het gehele pad benodigd is. Deze bijdrage is dW = F·ds Let op: dit is de arbeid verricht door het electrostatische krachtenveld F.
Vervolgens bevindt het geladen deeltje zich in een nieuw punt x,y,z, (vastgelegd door het van tevoren bepaalde pad s) alwaar een nieuwe electrostatische kracht F(x,y,z) werkt. Dit levert een nieuwe bijdrage aan de arbeid dW = F·ds etc. Dit sommeer je en levert tenslotte de totaal verrichte arbeid op. En dat sommeren van infinitesimale bijdrages gebeurt natuurlijk door de lijn-integraal.
