\require{AMSmath}

Sin x - 1/4x = 0 oplossen

Tijdens het maken van een wiskundesom stuitte ik op de volgende vergelijking: sin x - 1/4x = 0. Normaal lossen we dit grafisch-numeriek op, maar ik heb me erover gebogen om het algebraïsch te doen. Ik ben niet verder gekomen dan de simpele oplossing 0 (die volgt uit sin 0 - (1/4)·0 = 0) en dan sin x te stellen als de benadering x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ....
Ik heb eigenlijk geen idee hoe je zo'n soort vergelijking oplost (alle wiskundeleraren wisten het ook niet) en of het wel algebraïsch is op te lossen. Als het niet kan, vraag ik me af of het wel klopt dat je alle vergelijkingen met 1 onbekende erin algebraïsch kunt oplossen.
Zou iemand hier iets zinnigs over kunnen zegggen? En als het mogelijk is de algebraïsche oplossing geven? Ik snak ernaar om het te weten te komen.
Veel dank. Groetjes

Manus
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 26 april 2006

Antwoord

De vergelijking sin(x)=x/4 heeft drie oplossingen: 0 en ±a, waarbij a tussen 0 en pi ligt. Die a is niet op een eenvoudige manier algebraïsch uit te drukken. Dat is, helaas, niet zo eenvoudig te bewijzen maar de uiteindelijke reden is dat sin(x) zelf niet algebraïsch (met machten, wortels en zo) is uit te drukken. In hoofdstuk 18 van het boek `Getaltheorie voor beginners' van Frits Beukers (Epsilon uitgaven) wordt iets verteld over irrationale en transcendente getallen (dat is nou net het soort getallen dat hier een rol speelt). Heel veel meer vind je in `Irrational Numbers' van Ivan Niven.

kphart
woensdag 26 april 2006

©2001-2024 WisFaq