hoe kun je een vergelijking opstellen van een rechte door 2 punten (gegeven: (x1,y1) en (x2, y2)) door gebruik te maken van determinanten?!
dank bij voorbaat
Peter
3de graad ASO - zaterdag 15 april 2006
Antwoord
Beste Peter,
Dat kan inderdaad met een determinant en als je die gegeven krijgt kun je ook makkelijk nagaan dat dit overeenstemt met de rechte door die punten. Op deze manier komt de determinant echter "uit de lucht gevallen", we zullen proberen deze op te stellen.
Als we uitgaan van een algemene vergelijking van een rechte: ax + by + c = 0.
We weten dat door twee punten steeds een rechte gaat, maar hoe kunnen we controleren dat drie punten op een gegeven rechte liggen? Neem 3 punten (x1,y1), (x2,y2) en (x3,y3). Eisen dat deze drie punten op de rechte liggen levert een stelsel van drie homogene vergelijkingen in de onbekenden a,b en c.
Uit de theorie weet je dan waarschijnlijk dat zo'n stelsels een unieke oplossing heeft als de determinant 0 is. De drie punten liggen dus inderdaad op één rechte als:
Stel dat er nu 2 punten gegeven zijn en dat we de rechte erdoor zoeken. In de determinant kunnen we één punt dan vervangen door het onbekende punt (x,y), dit zullen dan precies de onbekenden uit de vergelijking zijn. De determinant is gelijkgesteld aan 0, zodat er inderdaad een vergelijking staat. Ontwikkelen naar de eerste rij levert precies de vergelijking van de rechte.
Conclusie, de vergelijking van de rechte door (x1,y1) en (x2,y2) wordt gegeven door:
Ter controle kun je nu deze determinant uitrekenen en vergelijken met het voorschrift dat je krijgt als je de vergelijking van de rechte op een andere manier opstelt.
