Ik zou moeten bewijzen dat Ik heb al geprobeerd om de expliciete Fibonacci-formule te gebruiken (van Binet) dat hielp niet, en de termen herschrijven zodat sommige termen elkaar opheffen helpt ook niet.... hebben jullie misschien een idee?
Groetjes,
Davy.
Davy Q
Beantwoorder - zondag 26 maart 2006
Antwoord
Beste Davy,
We beginnen met op te merken dat: 1/F(n)F(n+1) - 1/F(n+1)F(n+2)
= F(n+2)-F(n)/F(n)F(n+1)F(n+2)
= F(n+1)/F(n)F(n+1)F(n+2)
= 1/F(n)F(n+2)
Zodat jouw som zich laat herschrijven als: å1/F(2n-1)F(2n+1)...........(1)
Nu kunnen we gebruik maken van een identiteit:
F(n+2m)+F(n)=L(2m-1)F(n+2m-1).....(2)
waar L natuurlijk de Lucas-getallen geeft (1,3,4,7,...).
Deze identiteit is een uischrijfoefening als we weten dat
F(n)=F^n - F^(-n)/Ö5
L(n)=F^n + F^(-n).
De eerste twee termen van (1) laten zich dus optellen tot:
1/F(1)F(3)+1/F(3)F(5)
= F(1)+F(5)/F(1)F(3)F(5)
= (met (2)) L(2)F(3)/F(1)F(3)F(5)
= L(2)/F(1)F(5)
= F(4)/F(1)F(5) .....................(3)
Evenzo vinden we voor de derde en vierde term van (1) samen:
F(4)/F(5)F(9)........................(4)
Gebruikmakend van een andere beroemde identiteit, L(n)F(n)= F(2n) (ook een simpele uitschrijfoefening) zijn de eerste vier termen van (1) (de eerste 8 van jouw som) via (3) en (4) weer samen te nemen tot
F(4)/F(1)F(5) + F(4)/F(5)F(9)
= F(4)(F(1)+F(9))/F(1)F(5)F(9)
= F(4)L(4)/F(1)F(9)
= F(8)/F(1)F(9) .....................(5)
Natuurlijk is dit allemaal goed te vertalen in een algemeen geldige inductiestap.
Je concludeert dan met volledige inductie dat de eerste 2m termen uit jouw som, analoog aan (5), samen worden tot:
F(2^m)/F(1+2^m)
dus de som convergeert naar 1/F ((1) is immers monotoon), zoals de bedoeling was.
