Hoe bewijs je dat n! $<$ (n/2)n ? Ik probeerde het met inductie, maar kwam vast te zitten.
Stijn
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 12 maart 2006
Antwoord
Beste Stijn,
Dit kunnen we voor voldoende grote n halen uit een algemene stelling dat het meetkundig gemiddelde van een aantal nietnegatieve getallen kleiner of gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van die getallen. Of in formule-taal, als je de getallen x1, x2, ..., xn hebt, dan
(x1·x2·...·xn)1/n $\leq$ (x1+x2+...+xn)/n,
of, op een andere manier geschreven
x1·x2·...·xn $\leq$ ((x1+x2+...+xn)/n)n.
Laten we deze ongelijkheid de Rekenkundig gemiddelde - Meetkundig gemiddelde ongelijkheid noemen, kortweg RG-MG-ongelijkheid.
Toepassend op n! krijg je
n! = 2·...·n $\leq$ ( 2+...+n/n )n-1 = (n+2/2)n-1
Deze formule gaan we straks verder uitbouwen.
Het algemene geval van de RG-MG-ongelijkheid is lastig te bewijzen...
Voor twee getallen is het wel makkelijk om te bewijzen. Als we de RG-MG-ongelijkheid naar twee getallen, zeg a en b, herschrijven dan staat er:
√(ab)$\leq$ a+b/2.
Dit is op de volgende manier te herleiden tot equivalente ongelijkheden:
Die laatste ongelijkheid is natuurlijk waar, want een kwadraat is altijd $\geq$0, en dus is de RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen a en b ook waar.
Met RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen heb je genoeg voor het bewijzen van jouw ongelijkheid. Je splitst dan op:
2·n $\leq$(n+2/2)2,
3·(n-1) $\leq$(n+2/2)2,
4·(n-2) $\leq$(n+2/2)2,
...
Okay. We hebben dus
n! $\leq$ (n+2/2)n-1.
Voor n voldoende groot geldt echter dat
(n+2/2)n-1 $<$ (n/2)n
oftewel
(n+2/n)n-1 $<$ n/2
oftewel
(1+2/n)n $<$ n/2(1+2/n) = n/2+1.
De juistheid van de onderste ongelijkheid kun je zien doordat het linkerlid als limiet voor n naar oneindig e2 heeft, ongeveer 7,389, en het rechterlid gaat daar voor n groot genoeg (vanaf 13) duidelijk overheen. Met wat precies werk is er dus een grens voor n aan te geven waarboven de ongelijkheid geldt. Nader controleren geeft trouwens aan dat jouw ongelijkheid al wat eerder klopt.
