Gegeven zijn de rechten a $\Leftrightarrow$ (2x-3)/2 = (y)/2 = (2z+1)/6 en b $\Leftrightarrow$ 3x=5 en 3x+3z+2=0
a. Ga na dat a en b kruisend zijn b. Schrijf een stelsel parametervergelijkingen van de rechten a en b c. Zoek een punt A op a en een punt B op b zodat AB evenwijdig is met c$\Leftrightarrow$ x=(y/6)=(z/2)
We onderzoeken de onderlinge ligging van a en b. Daarvoor lossen we volgend stelsel op:
4x-2y = 6 4z-6y = 2 3x = 5 3y+3z+2 = 0
Dit stelsel heeft geen oplossing, dus moeten we richtingsgetallen bepalen. Hoe vindt ik hier de richtingsgetallen??
b. a $\Leftrightarrow$ 2x = 3 + (-2)r y = -2r 2z = -1 + (-6)r
dus a $\Leftrightarrow$ x= 3/2 x + (-1)r y= -2r z= (-1/2) + (-3)r
dus dan is een stel richtingsgetallen van a (-1 ; -2 ; -3)
maar dan een parametervergelijking van b...
b $\Leftrightarrow$ 3x = 0 3y + 3z = 0
en dan??
c. ??
Graag een handje hulp, alvast bedankt!
Elke
3de graad ASO - woensdag 1 maart 2006
Antwoord
Beste Elke,
Het kruisen kan je inderdaad nagaan via dat (grote) stelsel, maar ik vind het gemakkelijker om eerst b op te lossen (parametervergelijkingen bepalen) en daaruit kruisen af te leiden. Als je de parametervergelijkingen hebt kan je snel zien of ze evenwijdig/samenvallend zijn (evenredige richtingsvectoren) en makkelijk zien of er snijpunten zijn of niet, indien niet moeten ze dus kruisen.
Voor a zijn je richtingsgetallen juist, je kan ter vereenvoudiging de mintekens nog laten vallen en om de parametervoorstelling compleet te maken moet er ook nog een punt zijn. Voor b haal je uit de eerste vergelijking dat x = 5/3, dit geeft in de tweede vergelijking dat z = -7/3. Tenslotte kan y alles zijn, dat is je parameter.
De gegeven rechte heeft richting (1,6,2). Je kan bijvoorbeeld een vlak bepalen met die richting en die rechte a bevat, een tweede vlak dat rechte b bevat (met nog steeds die richting als tweede richtingsvector). Snijdt beide vlakken en je hebt de gevraagde rechte AB.
Re: Kruisende rechten 