A heeft 10 knikkers, B heeft 30 en C heeft 50. Ze verkopen hun aantal in twee keren tegen dezelfde prijs per keer. Na verkoop hebben ze hetzelfde bedrag verdiend. Hoe bereken ik de prijzen?
Uitleg: A verkoopt eerst 7 voor 1 cent; B verkoopt 28 (prijs gelijk als A); C verkoopt 49; opbrengst A=1, B=4, C=7; de rest wordt verkocht tegen 3 cent per stuk: opbrengst A=3, B=6, C=3: Totaal verdiend A=B=C=10.
Hoe kan ik dit van te voren uitreken m.b.v. de gegevens? Het gaat mijn pet te boven?
Ligeon
Iets anders - zondag 12 februari 2006
Antwoord
Ik denk nochtans dat beide oplossingen aan dezelfde eigenschappen voldoen: er is een vaste eenheidsprijs in de eerste ronde (noem die t cent per knikker), er is een vaste eenheidsprijs in de tweede ronde (noem die s cent per knikker), en de drie personen verdienen in het totaal evenveel door alledrie al hun knikkers te verkopen. In jouw voorbeeld was t=1/7 en s=3. In het andere voorbeeld was t=5 en s=1.
Als je het in variabelen en formules wil gieten: t en s zijn al gedefinieerd. Noem nu a het aantal knikkers dat persoon A verkoopt in de eerste ronde, b is het aantal verkocht door B in de eerste ronde, en c is het aantal verkocht door C in de eerste ronde.
Je zal dan wel zien dat je het volgende moet oplossen: at+(10-a)s = bt+(30-b)s = ct+(50-c)s (*) Dit drukt juist uit dat ze evenveel verdienen.
Werk de haakjes wat uit, en maak eens het verschil van vergelijkingen, je zal dan komen op: (a-b)(t-s)=20s en (a-c)(t-s)=40s Dus a-c=2(a-b), of nog b=(a+c)/2
Je ziet dat dit al klopt in beide oplossingen, want voor jouw oplossing: 28=(7+49)/2 en in de andere: 5=(10+0)/2.
Je vraagt nu of je de prijzen uit de verkoopronde kan bepalen: dat kan dus niet uniek, wat blijkt uit het feit dat er al twee oplossingen zijn. Bovendien kan je er veel meer maken: immers, als je een oplossing hebt kan je de prijzen in beide rondes met eenzelfde getal vermenigvuldigen, en je hebt opnieuw een oplossing.
Uit (*) kan je het linker- en rechterlid gelijkstellen, en oplossen naar t, je komt op t = s(1 + 40/(a-c)) Dus kies natuurlijke getallen a en c, zodat a tussen 0 en 10 ligt, en c tussen 0 en 50 (let wel op dat 1 + 40/(a-c) positief is, en dat b, het gemiddelde van a en c, geheel is). Kies dan een positieve s, en bereken t, en bereken b. Je mag dus veel kiezen :-)
Vb a=5, c=1, dus b=3, kies s=2 dan t=2*(1+40/4)=22. Ga na dat dit klopt en verzin zelf oplossingen zoveel je wil.
