Hoi, Ik moet onderzoeken of de volgende verzamelingen, met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging van reële getallen, een ring of wellicht zelfs een lichaam is. 1) alle getallen van de vorm a+bÖ2, met a,b in (Q) 2) alle getallen van de vorm a+bÖ2 + cÖ3, met a,b,c in(Q) 3) alle getallen van de vorm a+b3Ö2, met a,b in (Q)
Ellie
Student hbo - vrijdag 10 februari 2006
Antwoord
Ik zou zeggen: ga je gang. Alle getallen behoren tot R en dat is een lichaam. Je hoeft dus alleen maar te controleren of het deelringen of deellichamen van R zijn en V is een deelring van R als voor elke x,y in V geldt dat x+y en x*y weer in V zitten; als bovendien voor x¹0 in V altijd 1/x in V zit dan is V een deellichaam. 1) Je moet dus nagaan dat (a+bÖ2)+(c+dÖ2) en (a+bÖ2)*(c+dÖ2) weer te schrijven zijn als p+qÖ2 met p en q in Q (dat is zo) en als 1/(a+bÖ2) ook nog zo te schrijven is heb je zelfs een lichaam: dat laatste gaat als volgt: vermenigvuldig teller en noemer met a-bÖ2, dan krijg je a/(a2+2b2)-b/(a2+2b2)*Ö2 en dat is als gewenst. 2) en 3) dat zijn geen deelringen: Ö6=Ö2*Ö3 zit niet in de verzameling van 2) en (3Ö2)^2 zit niet in de verzameling bij 3)
