\require{AMSmath}

Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting

Ik heb een vraag over de inhoud van een kegel.
Door uitputting kan de inhoud van een kegel benaderd worden. Door de omsluitende cilinder te tekenen kan aangetoond worden dat de inhoud van de kegel 1/3 is van de inhoud van de cilinder.
Als je de cilinder indeelt in n-cilinders kan de inhoud van de kegel benadert worden. Door steeds meer cilinder te tekenen kan deze inhoud steeds beter benaderd worden.
De inhoud van zo'n cilinder is pr²·h
h kan geschrven als h_kegel/n
waarin n het aantal cilinder is.
Als je de inhoud van de kegel wil benaderen zul je nu elke keer opnieuw de radius in moeten vullen omdat deze wanneer je verder omhoog gaat steeds kleiner wordt.
Is er ook een manier de radius zo te schrijven dat je in een keer de inhoud van de kegel kan berekenen? Dus door alleen een n in te vullen, het aantal cilinders.
de formule die ik nu heb is pr²·^h/_n met h de hoogte van de kegel.
Dit betekent dat je elke keer opnieuw de inhoud van de cilinder moet berekenen en daarna optellen. Wanneer je steeds meer cilinders neemt wordt het steeds lastiger om dit allemaal uit te rekenen en ik heb het idee dat dit ook wel makkelijker kan in 1 formule, het lijkt mij alleen niet helemaal om deze formule te vinden omdat de radius van alle cilinders niet gelijk is.
Alvast bedankt voor jullie hulp

Mark
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 23 januari 2006

Antwoord

OK eerst maar eens een plaatje.



Ik heb een zijaanzicht getekend van de kegel. De cilindertjes laat ik uitsteken buiten de kegel. (Zou ook erbinnen kunnen).
Ik kies n gelijk aan 10.
Je moet nu de straal van de cilindertjes uitdrukken in r.
Het onderste cilindertje heeft straal r=10/10r.
Het een na onderste cilindertje straal 9/10r.
Die daar boven straal 8/10r enzovoort.
Het bovenste cilindertje straal 1/10r.
We krijgen dan:
$\pi$(¹⁰/₁₀r)²h/10+$\pi$(⁹/₁₀r)²h/10+$\pi$(⁸/₁₀r)²h/10+...+$\pi$(¹/₁₀r)²h/10.
Je kunt dit schrijven als:
$\pi$·^h/₁₀·¹/₁₀₀·(10²+9²+8²+....+1²)r²=³⁸⁵/₁₀₀₀$\pi$hr².

Nu nemen we n cilindertjes.
De stralen van de cilindertjes worden dan: n/nr, n-1/nr,n-2/nr,...,1/nr.
De formule voor de inhoud van alle cilindertjes samen wordt dan:
$\pi$·h/n·1/n2·(n2+(n-1)2+(n-2)2+....+12)r2.
Een formule voor n2+(n-1)2+(n-2)2+....+12 is 1/6n(n+1)(2n+1).
(Een afleiding hiervan kun je vinden op somrijen)
Dus de formule voor de inhoud van de kegel die is opgesplitst in n cilindertjes die buiten de kegel uitsteken is:
$\pi$·h/n·1/n21/6n(n+1)(2n+1)·r2=
1/6n(n+1)(2n+1)/n3$\pi$hr2
Je mag nu zelf nagaan dat als n heel groot wordt de inhoud nadert tot 1/3$\pi$r2h

hk
maandag 23 januari 2006

Re: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting

Re: Benadering van de inhoud van een kegel met uitputting

©2001-2024 WisFaq