peter
Student universiteit - zaterdag 14 september 2002
Antwoord
"Groepentheorie is een abstracte wiskundige theorie. De kracht van deze theorie is dat het veel verschillende takken van de wiskunde samenvoegt in een paar simpele axioma’s. De groepentheorie leverde op deze manier veel stellingen op die breed toepasbaar bleken (ook buiten de wiskunde).
Ook de taal van de groepentheorie is bijzonder simpel. Om te beginnen kunnen objecten met elkaar gecombineerd worden m.b.v. een operatie op. Met betrekking tot deze operatie is er een neutraal element e dat geen effect heeft op andere objecten: op(e,x)= x en op(x,e) = x. Bovendien is er voor elk object een ander neutraliserend object: zijn inverse. Inversie kunnen we modelleren als een 1-plaatsige functie inv zodanig dat voor elke x geldt dat op(x,inv(x)) = e. Hiermee hebben we bijna de volledige groepentheorie vastgelegd. Het enige wat we nog moeten afspreken is dat een combinatie van meer dan twee objecten ook een eenduidig resultaat oplevert. Dit zou om meer-dan-twee-plaatsige versies van op vragen. In de groepentheorie hoeft dat niet omdat we de combinatie van objecten associatief is. Dit betekent dat als we x op y loslaten en daarna op z dit hetzelfde resultaat levert als dat we eerst y op z laten werken en pas x op dat tussenresultaat. Formeel gesteld: op(op(x,y),z) = op(x,op(y,z)). Hierdoor weten we wat ‘op(x,y,z)’ zou moeten betekenen: de twee mogelijke interpretaties hebben we gelijk gesteld."
