\require{AMSmath}

Dubbele integraal met kartesische coordinatenstelsel

Ik zou graag weer een beroep doen op jullie kennis/inzicht.

Ik zit met het volgende vraagstuk.
Een dubbele intergraal (waarbij de y van 0 tot 1 loopt en de x van arcsin(y) tot $\pi$/2) √(1+cosx)dxdy
Ik ben begonnen met het schetsen van deze integraal. Aangezien de x van arcsin y tot $\pi$/2 is dit volgens mij gelijk aan een x die loopt van sin x tot $\pi$/2. Omdat hier geen sprake is van een x²+y² wil ik geen poolcoordinaten gebruiken, maar cartesische coordinaten.
Volgens mij wordt de functie dus begrensd door de y=0 lijn de x = $\pi$/2 en onder de grafiek van sin x.
Als dit al goed is, weet ik niet welke grenzen ik voor de integraal moet nemen. Aangezien de binneste intergraal over x gaan en de intergraal zelf een y bevat zal ik iets om moeten schrijven. Ik weet alleen niet precies hoe en wat. Zelf heb ik het volgende geprobeerd: de binnenste integraal over y genomen met grenzen van 0 tot sin x. De buitenste integraal gaat over x en heeft de grenzen 0 tot $\pi$/2. ik weet niet of dit uberhaupt klopt.
Hopelijk kan iemand me hier iets meer over vertellen om deze opgave op die manier op te lossen.
MVG

hans
Student universiteit - zondag 22 januari 2006

Antwoord

Hoe de grenzen oorspronkelijk gegeven zijn moet je eerst naar x integreren en dat is lastig omdat je functie √(1+cosx) niet echt gemakkelijk te integreren is (naar x). Het alternatief is dat, als het mogelijk is, je de grenzen herschrijft om de integratievolgorde te wisselen.

Je voorstel is prima, y loopt dan inderdaad van 0 tot sin(x) en daarna laat je x lopen van 0 tot $\pi$/2. Het voordeel is dat je nu eerst naar y integreert, na bepaalde integratie krijg je dan een extra factor sin(x) bij die functie en die gaat handig van pas komen om een substitutie uit te voeren (stel t = cos(x)) waardoor die oorspronkelijke wortelfunctie eenvoudig te integreren is.

Je manier van redeneren was prima, nu nog gewoon uitvoeren

mvg,
Tom

td
zondag 22 januari 2006

©2001-2024 WisFaq