Parameters met differentieren en andere bewerkingen
De volgende vragen hoeven niet per sé algebraïsch te worden beantwoord:
functie: Fc(X)= X3+3CX het volgende uitzoeken: Voor welke waarde van c heeft de grafiek drie nulpunten? Voor welke waarde van c heeft de grafiek een extreem van 4? Voor welke waarde van c raakt de grafiek de lijn y=6X
En bij de functie: Fp(X)= pX4-2X2+8p
Bepaal algebraïsch de nulpunten, toppen en buigpunten. Voor welke waarden van p liggen de buigpunten v/d grafiek op de x-as?
Ik heb vrijdag een toets en kom er echt niet uit met de parametersommen. Alvast bedankt
Daniël
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 17 januari 2006
Antwoord
Beste Daniël,
Ik ben al blij te horen dat ze niet "per sé met de GRM" moeten
Je kan in fc(x) een factor x buiten haakjes brengen, we krijgen: fc(x) = x(x2+3c). Je ziet dat je in 0 sowieso al een nulpunt hebt. Om nog twee extra nulpunten te hebben moet die tweede factor twee nulpunten hebben maar omdat dat een kwadratische vergelijking is kan je dat makkelijk uitdrukken door te zeggen dat de discriminant groter dan 0 moet zijn, dat geeft een eenvoudige voorwaarde op c.
Voor het extremum bepaal je de afgeleide en stel deze gelijk aan 0. Los op naar x om te zien waar je extrema liggen, dit is nog in functie van c. Vervang dan in fc(x) de x door die uitdrukking, stel y gelijk aan 4 en los op naar c.
De gegeven lijn gaat door de oorsprong. Ga na wat de afgeleide van onze functie in de oorsprong is (dus afleiden en dan x = 0 stellen). De richtingscoëfficiënt van de lijn is 6, kan je c zo bepalen dat ook die afgeleide 6 wordt?
Voor de tweede opgave, stel t = x2 en dat zit je met een kwadratische vergelijking waar je gemakkelijker de nulpunten van kan bepalen voor t. Substitueer dan terug naar x en los op naar x. Voor de toppen: stel de afgeleide gelijk aan 0 en los op naar x, let wel: niet alle punten waar de afgeleide 0 wordt zijn extrema. Voor de buigpunten: stel de tweede afgeleide gelijk aan 0 en los op naar x. Ook hier geldt hetzelfde, je vindt zo mogelijk punten die geen buigpunten zijn. De tweede afgeleide moet rond dat punt van teken wisselen.
