Hoe bewijs ik de volgende stelling: Als å(n=1 naar ¥)asubscriptn convergeert dan convergeert å(n=N naar ¥)asubscriptn ook, met N 1.
En hoe bewijs je dat een sommatie over eindig veel termen begrensd is en dus een limiet heeft. (Dit lijkt te triviaal voor woorden, maar toch vraag ik me af hoe men dit wiskundig bewijst.)
Hoogachtend, Steven
Steven
Student universiteit - donderdag 12 januari 2006
Antwoord
Beste Steven,
Convergentie van reeksen stellen we per definitie gelijk aan de convergentie van de rij der partiële sommen. Het is zelfs zo dat de stelling die je aanhaalt nog een stuk veralgemeend kan worden. Als je in een convergente (of divergente) reeks een eindig aantal termen schrapt of toevoegt, dan blijft de reeks convergent (resp divergent). Bovendien zal de totale reekssom natuurlijk precies toenemen of afnemen met de som van de termen die werden toegevoegd/geschrapt.
Om dit te bewijzen volstaat het dat je aantoont dat je één term mag toevoegen (herhaardelijk toepassen hiervan laat immers toe dat je een eindig aantal termen toevoegt, schrappen verloopt analoog). Je mag deze zelfs toevoegen op een willekeurige plaats in de reeks. Stel dat je een element x toevoegt aan de reeks å(n=1®¥)un tussen uk en uk+1. Voor n k is de n-de partiële som van de nieuwe reeks nog gelijk aan die van de oude. Voor n k is de n-de partiële som van de nieuwe reeks gelijk aan de (n-1)-de partiële som van de oude, plus a. Om de convergentie na te gaan neem je dan de limiet voor n®¥ en dat geeft dan precies a + å(n=1®¥)un.
Dat tweede lijkt inderdaad triviaal, maar om aan te tonen dat iets begrensd is kan je bijvoorbeeld makkelijk een afschatting naar boven maken. Omdat de termen in de reeks niet noodzakelijk hetzelfde teken hebben beschouwen we de reeks van de absolute waarden van de termen. Je hebt dan een eindig aantal termen, bijvoorbeeld n. Dan is de reeks sowieso kleiner dan n.|umax| (waarbij ik met |umax| de grootste term die voorkomt bedoel), en dat is begrensd. Een reeks die absoluut convergeert is ook gewoon convergent.
1.
k is de n-de partiële som van de nieuwe reeks nog gelijk aan die van de oude. Voor n 