\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 12373

Re: Fibonacci rij met kwadraten

Ik heb een klein begin, maar kom er niet uit...

Bovenstaande formule is te herleiden tot
(-1)ⁿ
Maar ik snap de tussenstappen niet. Kunt u helpen?


Bovenstaande formule is te herleiden tot


En weer snap ik de tussenstappen niet. Kunt u helpen?

Heel hartelijk dank voor de begeleiding van mijn PWS.

Klaas-Jan

Klaas-
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 3 januari 2006

Antwoord

dag Klaas-Jan.

De formules zien er indrukwekkend uit, maar het is de kunst om er als het ware doorheen te kijken.
Neem de bovenste formule.
Er staan vier breuken.
De noemers van de eerste twee met elkaar vermenigvuldigd, levert hetzelfde resultaat als de noemers van de laatste twee, namelijk 2²ⁿ·5
Bij de tellers van de eerste twee breuken kun je de vermenigvuldiging (A - B)·(C - D) toepassen. Ik neem aan dat je dat kunt.
Je kunt daarin bij de 'mengtermen' -A·D - B·C een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen:

-(1+Ö5)^n-1(1-Ö5)^n-1·((1-Ö5)² + (1+Ö5)²)

De twee kwadraten kun je uitwerken en er blijft dan iets moois over.
Iets soortgelijks kun je met de laatste twee breuken doen.
Vervolgens moet je de twee overgebleven breuken van elkaar aftrekken, en ziedaar...
Het is niet eenvoudig, maar ik hoop dat ik je een stukje op weg geholpen heb.
succes,

Anneke
maandag 9 januari 2006

©2001-2024 WisFaq