\require{AMSmath}

Impliciete functies

Ik moet de afgeleide bepalen van een cirkel, x² + y² = r². Hoe gaat dat precies.

Dennis
Student hbo - maandag 2 januari 2006

Antwoord

Beste Dennis,

Het is vaak handig om impliciet differentiëren te gebruiken wanneer we wel de afgeleide willen kennen maar het niet evident is om de vergelijking op te lossen naar de vorm y = f(x). Als dit laatste wel kan, dan kan je gewoon afleiden, dus y' = df(x)/dx bepalen. Bij de cirkel kan dit niet omdat je vergelijking door het kwadraat bij de y dan uiteen valt in twee delen: de positieve en de negatieve wortel.

Het idee bij impliciet differentiëren is dan dat we de volledige vergelijking gaan afleiden naar x waarbij we y beschouwen als een (verder ongekende) functie van x, dus dy/dx wordt dan niet 0 maar laten we gewoon staan. Laten we dat hier eens toepassen, let ook op de kettingregel.

x² + y² = r²
d(x²+y²)/dx = d(r²)/dx
d(x²)/dx + d(y²)/dx = 0
2x + d(y²)/dy * dy/dx = 0
2x + 2y * dy/dx = 0

Nu bekomen we een vergelijking waar dy/dx in voorkomt en dit is precies de afgeleide van y naar x, dus y'. Je kan nu oplossen naar dy/dx, merk wel op dat je in die uitdrukking nog een 'y' gaat behouden.

mvg,
Tom

td
maandag 2 januari 2006

©2001-2024 WisFaq