Ik heb al een reactie gegeven maar ik heb bijna het antwoord op de vraag, voor welk a er geen per opl bestaat, gevonden maar ik heb hier nog een vraag over.
Beschouw het Lienard syteem: x'=y-F(x) y'=-x
f(x)=F'(x) 1.f(x) is Lipschitz continu in R (reële getallen). 2.F(x) is oneven. 3.F(x) gaat naar oneindig als x naar oneindig gaat.En er bestaat een constante b0 zodat voor xb, F(x)0 en monotoon stijgend. 4.Er bestaat een constante c0 zodat voor 0xc, F(x)0.
De volgende stelling moet ik gebruiken: Stelling (Lienard) Als voldaan wordt aan de conditied 1t/m4 for het Lienard systeem dan is er tenminste één periodieke oplossing.Als bovendien a=b, dan bestaat er precies één oplossing en dit is de w-limietverzameling voor alle oplossingen behalve het kritieke punt (0,0).
Er geldt: F(x)=x(x^2+a)
Vragen: 1.|(3x^2+a)-(3y^2+a)|=K|x-y| |(3(x^2-y^2)|=|3(x+y)(x-y)| nu weet ik niet hoe ik verder moet. 2.is gelukt. 3 en 4: Allereerst moet a0 zijn, want anders bestaan er geen b en c die aan de voorwaarden voldoen. Ik heb voor enkele a's een plaatje gemaakt en zag dat er moet gelden: b=c=-a.Hoe kan ik dit nu voor algemene a formuleren?
En wat gebeurt er als a naar 0 gaat?
Groeten, Viky
viky
Student hbo - woensdag 21 december 2005
Antwoord
1. f is niet globaal Lipschitz continu; hij is wel lokaal Lipschitz: op de strook {(x,y):-MxM} kun je K=2M nemen. Dat is waarschijnlijk genoeg. 3 en 4: je hebt het in feite al voor alle a0 geformuleerd; behalve dan dat je b=c=sqrt(-a) moet hebben.
Voor a=0 is de oorsprong een aantrekker: de functie V(x,y)=x^2+y^2 is dan een Lyapunovfunctie die laat zien dat lim(x(t),y(t))=(0,0) voor elke oplossing.
Voor a0 blijft dat zo: de oorsprong trekt alle oplossingen aan.
Dit is een reactie op vraag 42219 
0 zodat voor x
x