Zij V de lineair deelruimte van M2 (C), bestaande uit alle matrices met ât=A
Waar â is de complex geconjugeerde van A
Zij X1=(0 1) X2=(0 -i) (1 0) (i 0)
X3= (1 0) (0-1)
Waar X_1,X_2 en X_3 zijn de zgn Pauli matrices.
Te bewijzen dat {I2,X1,X2,X3} een R-basis van V
Kan iemand mij helpen om dit te bewijzen.Alvast bedankt
Zaek
Student universiteit - zondag 18 december 2005
Antwoord
Hallo,
Zoals altijd als je wil bewijzen dat een bepaalde deelverzameling van een vectorruimte een basis is, heb je twee deelproblemen, namelijk: voortbrengend en lineair onafhankelijk.
Hier: zijn de vier gegeven elementen voortbrengend? Om dat in te zien, probeer eens op zoek te gaan naar de meest algemene matrix die in V zit. Wanneer zit de matrix /a+bi c+di\ \e+fi g+hi/ in V? Juist als /a+bi c+di\ = /a-bi e-fi\ \e+fi g+hi/ = \c-di g-hi/ Dus a=a, b=-b, c=e, d=-f, e=c, f=-d, g=g, h=-h. Dus het meest algemene element van V is: /a c+di\ \c-di g/ Als je deze nu kan schrijven als lineaire combinatie (met coëfficiënten in ) van je vier gegeven matrices, dan kan je dus elk element van V schrijven als lineaire combinatie van de vier, dus dan zijn de vier voortbrengend. Probeer eens...
En dan deel twee: zijn ze lineair onafhankelijk? Om dat na te gaan, stel dat a*I2+b*X1+c*X2+d*X3=0 (met 0 is de 2*2-matrix met enkel nullen, en a,b,c,d zijn reëel). Schrijf dit uit, als hieruit volgt dat a=b=c=d=0, dan heb je de lineaire onafhankelijkheid.
Die twee eigenschappen volstaan om te besluiten dat je vier elementen van V een basis vormen voor V.
) van je vier gegeven matrices, dan kan je dus elk element van V schrijven als lineaire combinatie van de vier, dus dan zijn de vier voortbrengend. Probeer eens... 