Gegeven: een getekende ellips, geen as, geen brandpunt en geen centrum gegeven. Hoe kan men een raaklijn construeren?
Filip
3de graad ASO - zaterdag 10 december 2005
Antwoord
Een dergelijke constructie behoort tot de projectieve meetkunde en is gebaseerd op de Stelling van Pascal voor kegelsneden:
"Zijn de punten 1, 2, 3, 4, 5, 6 hoekpunten van een zeshoek die gelegen zijn op een kegelsnede, dan liggen de snijpunten van de overstaande zijden op dezelfde rechte lijn."
We kiezen nu de punten 1 en 2 samenvallend met het punt X waarin we de raaklijn willen tekenen. De 'verbindingslijn' van deze punten is dan de raaklijn in het punt X = 1,2 aan de ellips (in dit geval). Kies verder de punten 3,4,5,6 willekeurig op de ellips. Volgens de stelling van Pascal (toegepast op de zeshoek 123456) hebben we dan (/\ betekent 'snijpunt met'): 12 /\ 45 = P, 23 /\ 56 = Q, 34 /\ 61 = R; P, Q, R liggen op dezelfde rechte. De punten Q en R zijn construeerbaar. Dan vind je het punt P als snijpunt van QR met de lijn 45. PX is dan de gevraagde raaklijn.
Verplaats het punt X op de ellips, en ga ook na dat bij verplaatsing van bijvoorbeeld het punt 3 op de ellips de lijn PX niet verandert.
