\require{AMSmath}

Wanneer is f(x) = (ax + b)/(cx + d) gelijk aan zijn inverse?

Beste WisFaq,

Graag had ik enige hulp gekregen bij volgende opgave:

[Aan welke voorwaarden moeten a, b, c en d voldoen opdat de functie f: x - (ax + b)/(cx + d) gelijk zou zijn aan haar inverse?]

Hierbij ben ik als volgt te werk gegaan:

f = {(x,y) | y = (ax + b)/(cx + d)}

f^-1 = {(y,x) | (ax + b)/(cx + d)}

= {(x,y) | (cy + d)x = ay + b}
waarbij ik achterwege laat dat cy + d ¹ 0 omdat indien cy + d = 0 ik onzin verkrijg

= {(x,y)| (cx - a)y = b - dx}
waarbij cx - a niet nul kan zijn omdat ook dit anders onzin geeft

= {(y,x) | (-dx + b)/(cx - a)}

Naar mijn mening zou ik dan (ax + b)/(cx + d) = (-dx + b)/(cx - a) moeten stellen, en dit verder uitwerken.

Door dit met een enkele pijl = te doen, krijg ik het volgende:
/ac + cd = 0
|d² - a² = 0
\ab + bd = 0

Helaas stemt dit niet overeen met de opgegeven oplossing:
c ¹ 0: d = -a en a² + bc ¹ 0
c = 0: d = -a
c = 0 = b en d = a

Wat heb ik fout gedaan? Heb ik misschien nodige voorwaarden ontdekt, terwijl ik nodige én voldoende moet hebben? Zoja, hoe los ik dit op?

Mvg,

Tom

Tom
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 7 december 2005

Antwoord

dag Tom,

Jouw antwoord stemt vrijwel overeen met de gegeven oplossing.
Jouw eerste voorwaarde:
ac + cd = 0
is te ontbinden in
c(a + d) = 0
Jouw tweede voorwaarde:
d² - a² = 0
is te ontbinden in
(d - a)(d + a) = 0
Jouw derde voorwaarde
ab + bd = 0
is te ontbinden in
b(a + d) = 0
In elk van deze ontbindingen komt de factor d + a voor.
Als deze gelijk is aan 0 (dus als d = -a), dan is aan elk van jouw voorwaarden voldaan.
Deze uitkomst komt overeen met de eerste twee gegeven oplossingen, waarbij alleen nog het geval c ¹ 0 Ù a² + bc = 0 apart bekeken moet worden.
Als d + a ¹ 0, dan moet c = 0 Ù b = 0 Ù d - a = 0 en dit komt overeen met de derde gegeven oplossing.
Dus hoe komen ze aan de eis, dat a² + bc ¹ 0?
Dat heeft te maken met de eis dat de inverse functie moet bestaan.
Dat wil zeggen: de functie mag géén constante zijn.
Reken deze eis zelf eens door.
Dit is een voorwaarde die gemakkelijk over het hoofd gezien wordt, en eigenlijk is er geen recept voor te geven.
Ik hoop dat dit niet al te ontmoedigend overkomt. Voor het grootste deel zat je gewoon goed.
groet,

Anneke
woensdag 7 december 2005

Re: Wanneer is f(x) = (ax + b)/(cx + d) gelijk aan zijn inverse?

©2001-2024 WisFaq