\require{AMSmath}

Limiet

Hallo,

Kan je bewijzen dat lim [n!·t²ⁿ]/[(2n)!·2ⁿ] = 0

Voor n - ¥ en voor t willekeurig ?

Bedankt

Leen
Student universiteit België - maandag 5 december 2005

Antwoord

Dag Leen,

Dat is zeker mogelijk: het gaat makkelijkst door eerst een paar afschattingen te maken: zo geldt dat
n!/(2n)! = 1/((n+1)...(2n)) 1/n!
En t²ⁿ/2ⁿ=(t²/2)ⁿ uⁿ waarbij we u een natuurlijk getal kiezen, groter dan t²/2.

Dus de uitdrukking uⁿ/n! = x_n
Dat deze term x_n naar nul gaat is intuïtief duidelijk: in de teller staan n factoren die alle even groot zijn (u), in de noemer staan evenveel factoren die echter steeds groter worden. Als je het explicieter wil:
x_2u = u^2u/(2u)! = C
lim x_n = C*(u/(2u+1))*(u/(2u+2))*... C*(1/2)*(1/2)*(1/2)*... = 0.

Merk nog op dat al je termen positief zijn, dan volgt daaruit dat de limiet van de opgave gelijk is aan nul, en dat voor elke t.

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 6 december 2005

©2001-2024 WisFaq