Met het boek "Calculus, Early Transcendentals 5e" (van James Stewart) probeer ik mezelf beter voor te bereiden op het universitair onderwijs.
Ik heb een probleem met één specifieke "theorem":
In het boek staat namelijk: "If f is differentiable at a, then f is continuous at a".
Ik kan namelijk functies opstellen, die niet continu zijn, maar wel differentieerbaar (dus in tegenstrijd met de "theorem").
bijvoorbeeld ("pieciewise definition" van een functie):
f(x) = x^2+5 (x = 2) x^2-5 (x 2)
De functie is niet continu, dus volgens calculus is deze functie niet differentieerbaar, echter:
De linker limiet: lim(x-2-)f'(x)=[f(x)-f(a)]/(x-2) lim(x-2-)f'(x)=(x^2+5-9)/(x-2)=[(x+2)(x-2)]/(x-2) lim(x-2-)f'(x)=(x+2)=4
evenzo: de rechter limiet is ook gelijk aan 4.
De linker en de rechter limiet zijn aan elkaar gelijk, dus f'(2) bestaat en dus is de functie differentieerbaar voor x = 2. Volgens de theorem klopt dit dus niet!
wat is er mis met deze interpretatie?
Bij voorbaat dank,
Thomas Verduin
Thomas
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 3 december 2005
Antwoord
Dag Thomas,
De fout die je maakt zit in de rechterlimiet, volg maar even mee: lim(x-2+) [f(x)-f(a)]/(x-a) = lim(x-2+) [x2-5-f(2)]/(x-2) want voor x2 is f(x)=x2-5 = lim(x-2+) [x2-5-9]/(x-2) want f(2)=9 volgens de definitie van f = lim(x-2+) [x2-14]/(x-2) Invullen van x=2 geeft hier -10/0+. De rechterlimiet bestaat dus niet, en dus bestaat de afgeleide evenmin.
= 2) 
2) 