Ik moet een vergelijking oplossen met logaritmen. Zoek a en b als voor iedere x element van R(positief en groter dan 0) geldt dat y” + ay’2+ by’/x = 0 ; y= ln(lnx) Ik heb al y’= D(ln(lnx)) = (1/x)/lnx = 1/xlnx y”= D(1/xlnx) = -D(xlnx) / (xlnx)2 is dit: = - [(lnx*D(x)+D(lnx)*x ) / x2ln2x] = - [(lnx + 1) / x2ln2x] ???
Ik twijfel aan de ln2x ... Als ik dit in de vgl steek en verder vereenvoudig, kom ik aan: ln[x^(ab)]= ln2x-lnx ln[x^(ab)]= ln x = ??? ab = 1
a=1 en b=1
Ik weet dat het ongeveer goed is, maar ik zou graag zeker zijn. Ik weet niet of (lnx)2 = lnx2 of ln2x...
Groetjes,
Elisa
Elisa
3de graad ASO - zaterdag 26 november 2005
Antwoord
Dag Elisa,
Je twee afgeleiden y' en y'' zijn correct. In y'' komt inderdaad (lnx)2 voor, wat ook genoteerd wordt als ln2x, en wat NIET hetzelfde is als ln(x2), want dat is volgens de rekenregels voor logaritmen gelijk aan 2*lnx.
Ik zie niet direct hoe je dan aan die ln(xab) komt... Als ik de y' en y'' invul in de opgegeven gelijkheid, kom ik aan:
-(1+lnx)/x2ln2x + a/x2ln2x + b/x2lnx = 0
Of, na vermenigvuldiging met x2ln2x staat er nog: -1 - lnx + a + blnx = 0 (a-1) + (b-1)lnx = 0
Je weet dat deze gelijkheid voor elke (positieve) x moet gelden, dus dan zal je daar allicht wel a en b uit kunnen oplossen... Het geeft inderdaad a=b=1, dus de uitkomst die jij ook al had. Alleen heb jij op een (voor mij) mysterieuze manier afgeleid dat ab=1, en daaruit bovendien besloten dat a=b=1, terwijl dat net zo goed a=2 en b=1/2 had kunnen zijn.
??? 