\require{AMSmath}

Integraal met arcsin...?

Koppijn heb ik ervan gekregen:

Integraal van: (64-4z²) dz

Ik heb het antwoord wel maar ik kom er echt niet uit hoe men erbij is gekomen, er zit namelijk een "asin" in. Hoe krijg je het voormekaar om hem onder de deelstreep te krijgen?, nadat er is geintegreerd ben tevens geintereseerd in de primitieve.

Alvast bedankt, sander de vries

Sander
Student hbo - dinsdag 27 augustus 2002

Antwoord

Op Wisfaq, afdeling integreren, staat een vraag van 1 a 2 maanden oud, genaamd "partieel integreren".
(vraag 3908)
zie link onderaan

Daar staat beschreven hoe het komt dat de primitieve van
(1-x²) gelijk is aan
½x(1-x²) + ½arcsinx

Jouw functie lijkt hierop.

(64-4z²) gaan we herschrijven:

(64-4z²) = 64(1-(1/16)z²) =
64(1-(¼z)²) = 8(1-(¼z)²)

uitgaande van de voorgaande primitieve die ik genoemd heb, moet daar iedere x in een "¼z" veranderd worden,
dus
½x(1-x²) + ½arcsinx
wordt ½.¼z(1-(¼z)²) + ½arcsin(¼z)

maar dan moet de totale primitieve wel met 4 vermenigvuldigd worden (het omgekeerde van ¼) want zou je de primitieve weer gaan uitdifferentieren, dan zou je namelijk wegens de kettingregel ook elke ¼z weer moeten differentieren zodat er overal factor ¼ voor komt te staan.
Om dit effect te "neutraliseren" moet de gehele primitieve met 4 vermenigvuldigd worden.

Bovendien moet de primitieve ook nog eens met 8 vermenigvuldigd worden omdat die 8 voor het wortelteken staat.

zodoende kom je uit op:

8.4.(½.¼z.(1-(¼z)²) + ½arcsin(¼z))

= 4z.(1-(¼z)² + 16arcsin(¼z)

groeten,
martijn

Zie partieel integreren

mg
woensdag 28 augustus 2002

©2001-2024 WisFaq